1. Uma onda plana com amplitude \mathrm{E}_{0}=1,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, cuja polarização é perpendicular ao plano de incidência, propaga-se em um meio 1 caracterizado por \mu=\mu_{0}, \varepsilon= 4 \varepsilon_{0} \mathrm{e} \sigma=0. Tal onda incide sobre o meio 2 com ângulo de 30^{\circ}. Sabendo-se que o meio 2 é caracterizado por \mu=\mu_{0}, \varepsilon=9 \varepsilon_{0} e \sigma=0, calcule os coeficientes de reflexão e transmissão e as amplitudes das ondas refletida e transmitida.
    (2 pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
Dados fornecidos:
  • Amplitude da onda incidente: \,E_{0}=1{,}0\\ \mathrm{V/m}.
  • Polarização: perpendicular ao plano de incidência (polarização “s”).
  • Meio 1: \mu_{1}=\mu_{0},\\ \varepsilon_{1}=4\varepsilon_{0},\\ \sigma_{1}=0.
  • Meio 2: \mu_{2}=\mu_{0},\\ \varepsilon_{2}=9\varepsilon_{0},\\ \sigma_{2}=0.
  • Ângulo de incidência: \theta_{1}=30^\circ.
O que o enunciado pede:
  • Calcular os coeficientes de reflexão e de transmissão (amplitude) para polarização perpendicular ao plano de incidência.
  • Calcular as amplitudes das ondas refletida e transmitida.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  1. Índice de refração e impedância do meio:
  • Para meios não condutores e \mu=\mu_{0}, o índice de refração relativo é \,n=\sqrt{\varepsilon/\varepsilon_{0}}\,. Aqui \varepsilon é a permissividade do meio.
  • A impedância do meio é \displaystyle \eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}. Como \mu=\mu_{0}, \eta=\eta_{0}/n, onde \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} é a impedância do vácuo.
  1. Lei de Snell:
  • A direção refratada \theta_{2} satisfaz \displaystyle n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}. Isso permite calcular \theta_{2} a partir de \theta_{1} e dos índices.
  1. Coeficientes de Fresnel para polarização perpendicular (s):
  • A condição de continuidade das componentes tangenciais do campo elétrico e magnético na superfície leva aos coeficientes de amplitude:
r_{s}=\frac{\eta_{2}\cos\theta_{1}-\eta_{1}\cos\theta_{2}}{\eta_{2}\cos\theta_{1}+\eta_{1}\cos\theta_{2}},
t_{s}=\frac{2\eta_{2}\cos\theta_{1}}{\eta_{2}\cos\theta_{1}+\eta_{1}\cos\theta_{2}}.
  • Substituindo \eta_{i}=\eta_{0}/n_{i} (pois \mu_{i}=\mu_{0}), essas expressões simplificam para formas em termos dos índices n_{1},n_{2}:
r_{s}=\frac{n_{1}\cos\theta_{1}-n_{2}\cos\theta_{2}}{n_{1}\cos\theta_{1}+n_{2}\cos\theta_{2}},
t_{s}=\frac{2n_{1}\cos\theta_{1}}{n_{1}\cos\theta_{1}+n_{2}\cos\theta_{2}}.
  • Observação prática: para campo elétrico tangencial, a condição E_{i}+E_{r}=E_{t} no ponto de superfície implica numericamente que t_{s}=1+r_{s} (verificação útil).

Passo 3

Calcular índices e ângulo transmitido (usando as fórmulas acima).
  1. Índices de refração (peguei \varepsilon_{1}=4\varepsilon_{0} e \varepsilon_{2}=9\varepsilon_{0} do enunciado):
n_{1}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{0}}}=\sqrt{4}=2, \qquad n_{2}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{0}}}=\sqrt{9}=3.
  1. Usar Snell para \theta_{2}:
\sin\theta_{2}=\frac{n_{1}}{n_{2}}\sin\theta_{1}=\frac{2}{3}\sin(30^\circ)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
Logo
\theta_{2}=\arcsin\!\left(\frac{1}{3}\right)\approx 19{,}47^\circ.
  1. Valores de cosseno (usar formas exatas quando possível):
\cos\theta_{1}=\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254,
\cos\theta_{2}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta_{2}}=\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0{,}942809.

Passo 4

Calcular os coeficientes de amplitude r_{s} e t_{s} (substituir números).
Primeiro calcule n_{1}\cos\theta_{1} e n_{2}\cos\theta_{2}:
n_{1}\cos\theta_{1}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\approx 1{,}732051,
n_{2}\cos\theta_{2}=3\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828427.
Agora aplique as fórmulas:
r_{s}=\frac{n_{1}\cos\theta_{1}-n_{2}\cos\theta_{2}}{n_{1}\cos\theta_{1}+n_{2}\cos\theta_{2}} =\frac{1{,}732051-2{,}828427}{1{,}732051+2{,}828427} \approx -0{,}24044.
t_{s}=\frac{2n_{1}\cos\theta_{1}}{n_{1}\cos\theta_{1}+n_{2}\cos\theta_{2}} =\frac{2\cdot1{,}732051}{1{,}732051+2{,}828427} \approx 0{,}75956.
(Verificação rápida: 1+r_{s}\approx 1-0{,}24044=0{,}75956, igual a t_{s} — bom sinal.)

Passo 5

Calcular as amplitudes das ondas refletida e transmitida.
Como E_{r}=r_{s}E_{0} e E_{t}=t_{s}E_{0}, com E_{0}=1{,}0\\ \mathrm{V/m}:
E_{r}=(-0{,}24044)\cdot 1{,}0\\ \mathrm{V/m} \approx -0{,}24044\\ \mathrm{V/m},
E_{t}=0{,}75956\cdot 1{,}0\\ \mathrm{V/m} \approx 0{,}75956\\ \mathrm{V/m}.
Interpretação: o sinal negativo em E_{r} indica que a onda refletida tem inversão de fase de 180^\circ em relação à incidente (para essa polarização e contraste de índices).

Passo 6

(Bônus útil — coerência de energia) Coeficientes de potência (refletância e transmitância) para checar conservação de energia:
R=|r_{s}|^{2}\approx (-0{,}24044)^{2}\approx 0{,}0578,
T=\frac{n_{2}\cos\theta_{2}}{n_{1}\cos\theta_{1}}\,|t_{s}|^{2} \approx\frac{2{,}828427}{1{,}732051}\cdot(0{,}75956)^{2}\approx 0{,}9422.
Note que R+T\approx 1{,}000, como esperado para meios sem perdas ( \sigma=0).

Resposta

r_{s}\approx -0{,}24044,\qquad t_{s}\approx 0{,}75956
E_{r}\approx -0{,}24044\\ \mathrm{V/m},\qquad E_{t}\approx 0{,}75956\\ \mathrm{V/m}

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