Voçê está encalhado no espaço a uma distância de 20 m de sua nave. Você tem consigo um laser de 1,0 \mathrm{~kW}. Se sua massa total, incluindo o traje espacial e o laser, é de 95 kg , quanto tempo levará para você chegar à nave se apontar o feixe de laser no sentido oposto ao da nave?

Passo 1

O enunciado pede o tempo que você levará para percorrer a distância até a nave quando usa um laser apontado para trás (ou seja, o recoil do laser te empurra na direção da nave). As informações dadas são:
\displaystyle d=20\\ \mathrm{m} (distância até a nave),
\displaystyle P=1{,}0\\ \mathrm{kW}=1{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{W} (potência do laser),
\displaystyle m=95\\ \mathrm{kg} (sua massa total).
Queremos o tempo t necessário para percorrer \,d partindo do repouso, supondo aceleração constante gerada pelo recoil do laser.

Passo 2

Conceito físico que usamos (explicadinho): fótons carregam energia e momento. A relação entre energia e momento do fóton é
\text{momento do fóton} = \dfrac{\text{energia do fóton}}{c},óó
onde \,c é a velocidade da luz ( \,c\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Se um dispositivo emite energia a uma taxa P (potência), então a energia emitida por segundo é P. A quantidade de momento transportada pelos fótons por segundo (ou seja, a taxa de variação do momento) é
\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{P}{c}.
Essa taxa de variação de momento é justamente uma força (pela segunda lei de Newton em forma de impulso por unidade de tempo). Logo, a força de recoil exercida sobre você pelo laser é
\boxed{F=\dfrac{P}{c}}.
Aqui \,F é a força (em \mathrm{N}), \,P é a potência do laser (em \mathrm{W}) e \,c é a velocidade da luz (em \mathrm{m/s}). Observação: estamos assumindo emissão de fótons num feixe bem colimado e que o efeito é o de simples emissão (não estamos contando reflexão dupla etc.). Também estamos assumindo que a massa não muda significativamente e que velocidades permanecem muito menores que c.

Passo 3

Agora relacionamos força e aceleração usando a segunda lei de Newton: \,F=ma. Assim a aceleração constante é
a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{P}{c\,m}.
Substituindo os valores numéricos:
a=\dfrac{1{,}0\times10^{3}}{(3{,}00\times10^{8})(95)}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calculemos o denominador:
(3{,}00\times10^{8})\times95 = 2{,}85\times10^{10}.
Logo
a=\dfrac{1{,}0\times10^{3}}{2{,}85\times10^{10}} = 3{,}51\times10^{-8}\\ \mathrm{m/s^{2}}\quad(\text{aprox.}).
Interpretação: essa aceleração é extremamente pequena — é por isso que levará muito tempo.

Passo 4

Relação de cinemática para movimento com aceleração constante partindo do repouso: a distância percorrida em tempo t é
d=\tfrac{1}{2} a t^{2}.
Isolando t,
t=\sqrt{\dfrac{2d}{a}}.
Substituindo a=\dfrac{P}{c m} nesta expressão dá uma forma útil que podemos calcular de uma vez:
t=\sqrt{\dfrac{2d\,m\,c}{P}}.
Aqui cada símbolo significa: \,d distância a percorrer, \,m massa, \,c velocidade da luz, \,P potência do laser.

Passo 5

Substituímos os números em
t=\sqrt{\dfrac{2d\,m\,c}{P}}.
Calcule passo a passo:
2d\,m = 2\times20\times95 = 3{,}800.
3{,}800\times c = 3{,}800\times(3{,}00\times10^{8}) = 1{,}14\times10^{12}.
\frac{1{,}14\times10^{12}}{P} = \frac{1{,}14\times10^{12}}{1{,}0\times10^{3}} = 1{,}14\times10^{9}.
Agora a raiz:
t=\sqrt{1{,}14\times10^{9}} \approx 3{,}38\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
Convertendo para horas:
t \approx \frac{3{,}38\times10^{4}}{3600}\\ \mathrm{h} \approx 9{,}38\\ \mathrm{h}.
Observações finais (didáticas e práticas): esse resultado usa aproximações ideais — aceleração constante, laser perfeitamente colimado, não considera outras forças (ex.: atração gravitacional desprezível aqui), e assume velocidades muito menores que c. Em condições reais algumas dessas suposições podem alterar o tempo, mas a ordem de magnitude está correta: muitas horas.

Resposta

t\approx 3{,}38\times10^{4}\\ \mathrm{s} ( \approx 9{,}38\\ \mathrm{h})

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