Uma linha de transmissão trifásica, 60 Hz , tem comprimento de 281,635 \mathrm{~km} ( 175 milhas), impedância série total de 0,35+j 140 \Omega e admitância shunt total de j 930 \times 10^{-6} \mathrm{~S}. A LT entrega 40 MW em 220 kV com fator de potência de 90 \% em atraso. Determinar a tensão no lado do envio por aproximação:
de linha curta;

Passo 1

Primeiro vamos entender claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
\text{comprimento da linha} = 281{,}635\\ \text{km}
\text{impedância série total} = Z = 0{,}35 + j\,140\\ \Omegaâé
\text{admitância shunt total} = Y = j\,930\times 10^{-6}\\ \text{S}â
\text{potência ativa entregue} = P = 40\\ \text{MW}ê
\text{tensão no lado de entrega (nominal LL)} = V_{R\,(LL)} = 220\\ \text{kV}ã
\text{fator de potência no recebimento} = \text{pf} = 0{,}90\\ \text{(atraso)}ê
Fazem parte implicitamente: sistema trifásico e frequência 60\\ \text{Hz}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão no lado do envio (tensão de envio) usando a aproximação de linha curta (ou seja: desprezamos a admitância shunt e consideramos apenas a impedância série total).
Observações importantes (do enunciado): a impedância série e a admitância shunt são os valores totais da linha. Na aproximação de linha curta vamos ignorar Y e usar apenas Z para o cálculo da queda de tensão série \Delta V = I\cdot Z.

Passo 2

Vamos achar a potência reativa entregue e a potência complexa trifásica S.
Explicação da fórmula: o fator de potência \text{pf}=\cos\varphi relaciona potência ativa P e reativa Q por \tan\varphi = Q/P. Como é atraso (indutivo), Q será positivo.
Calcular o ângulo de fator de potência:
\cos\varphi = 0{,}90 \quad\Rightarrow\quad \varphi = \operatorname{arccos}(0{,}90).
Valor numérico (aproximado):
\varphi \approx 25{,}84^\circ.
Calcular \tan\varphi:
\tan\varphi \approx 0{,}48432.
Portanto a potência reativa trifásica é
Q = P\cdot \tan\varphi = 40\times 10^{6}\cdot 0{,}48432 \approx 19{,}3728\times 10^{6}\\ \text{VAr}.
A potência complexa trifásica é
S = P + jQ = 40{,}000{,}000 + j\,19{,}372{,}800\\ \text{VA}.

Passo 3

Vamos determinar a corrente de linha (por fase) no ponto de recebimento.
Explicação da fórmula: para um sistema trifásico equilibrado, a corrente de linha pode ser encontrada por
I = \frac{S^{*}}{\sqrt{3}\,V_{R\,(LL)}},
onde S^{*} é o conjugado de S (porque S = V I^{*}), e V_{R\,(LL)} é a tensão linha-linha no ponto de recebimento. Usamos essa fórmula para obter diretamente a corrente de linha.
Aplicando:
I = \frac{40{,}000{,}000 - j\,19{,}372{,}800}{\sqrt{3}\cdot 220{,}000}\\ \text{A}.
Calculemos o denominador:
\sqrt{3}\cdot 220{,}000 \approx 381{,}051{,}18\\ \text{V}.
Agora os componentes:
I_{\text{real}} = \frac{40{,}000{,}000}{381{,}051{,}18}\approx 104{,}97\\ \text{A},
I_{\text{imag}} = \frac{-19{,}372{,}800}{381{,}051{,}18}\approx -50{,}85\\ \text{A}.
Logo o fasor corrente (forma retangular) é
I \approx 104{,}97 - j\,50{,}85\\ \text{A}.
Magnitude e ângulo (para intuição):
|I| \approx \sqrt{104{,}97^{2}+50{,}85^{2}}\approx 116{,}66\\ \text{A},
\angle I \approx -25{,}84^\circ,
o que confirma que a corrente está defasada atrás da tensão por \varphi (já que o pf é de atraso).

Passo 4

Calcular a queda de tensão série por fase \Delta V = I\cdot Z.
Explicação: na aproximação de linha curta, a única queda de tensão é a série, igual ao produto da corrente de linha pelo impedância série total por fase Z.
Dados:
Z = 0{,}35 + j\,140\\ \Omega,
I \approx 104{,}97 - j\,50{,}85\\ \text{A}.
Multiplicação de fasores em forma retangular (mostrar o passo para você poder reproduzir na prova):
Se I = a + jb e Z = c + jd, então
I\cdot Z = (ac - bd) + j(ad + bc).
Aqui a=104{,}97, b=-50{,}85, c=0{,}35, d=140.
Calculemos:
ac = 104{,}97\cdot 0{,}35 \approx 36{,}7395,
bd = (-50{,}85)\cdot 140 \approx -7{,}119{,}0,
ac - bd = 36{,}7395 - (-7{,}119{,}0) \approx 7{,}155{,}74\\ \text{V},
ad = 104{,}97\cdot 140 \approx 14{,}695{,}8,
bc = (-50{,}85)\cdot 0{,}35 \approx -17{,}7975,
ad + bc \approx 14{,}695{,}8 - 17{,}7975 \approx 14{,}678{,}00\\ \text{V}.
Portanto a queda de tensão por fase é
\Delta V = I\cdot Z \approx 7{,}155{,}74 + j\,14{,}678{,}00\\ \text{V}.
Magnitude da queda:
|\Delta V| \approx \sqrt{7{,}155{,}74^{2} + 14{,}678{,}00^{2}} \approx 16{,}333\\ \text{V}\times 10^{3} = 16{,}33\\ \text{kV}.

Passo 5

Agora somamos vetorialmente a tensão de recebimento por fase com a queda série para obter a tensão de envio por fase.
Primeiro a tensão de recebimento por fase (linha-neutro):
V_{R\,(ph)} = \frac{V_{R\,(LL)}}{\sqrt{3}} = \frac{220{,}000}{\sqrt{3}} \approx 127{,}017{,}5\\ \text{V}.
Escolhemos a referência de fase tal que V_{R\,(ph)} seja real e com ângulo 0^\circ:
V_{R\,(ph)} = 127{,}017{,}5 + j\,0\\ \text{V}.
Somando:
V_{S\,(ph)} = V_{R\,(ph)} + \Delta V \approx (127{,}017{,}5 + j\,0) + (7{,}155{,}74 + j\,14{,}678{,}00).
V_{S\,(ph)} \approx 134{,}173{,}24 + j\,14{,}678{,}00\\ \text{V}.
Magnitude da tensão por fase no envio:
|V_{S\,(ph)}| \approx \sqrt{134{,}173{,}24^{2} + 14{,}678{,}00^{2}} \approx 134{,}953\\ \text{V}.

Passo 6

Converter a tensão de envio por fase para tensão linha-linha de envio (valor normalmente pedido):
Fórmula: V_{S\,(LL)} = \sqrt{3}\,|V_{S\,(ph)}|.
Aplicando:
V_{S\,(LL)} \approx \sqrt{3}\cdot 134{,}953 \approx 1{,}73205\cdot 134{,}953 \approx 233{,}858\\ \text{V}.
Em unidades mais usuais:
V_{S\,(LL)} \approx 233{,}86\\ \text{kV}.
Interpretação rápida: a tensão de envio é maior que a de recebimento (220 kV) devido à queda de tensão na linha; a diferença aqui é de aproximadamente 13{,}86\\ \text{kV} na linha-linha.

Resposta

V_{S\,(LL)} \approx 233{,}86\\ \text{kV}

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