Uma linha uniforme de cargas de densidade rhoL C / m no espaço livre estende-se ao longo do eixo z, de z=-h até z=h. (a) Encontre E no plano z=0.

Passo 1

O enunciado diz: “Temos uma linha de carga uniforme, densidade (C/m), que vai de a sobre o eixo . A gente precisa achar o campo elétrico em qualquer ponto do plano , ou seja, na “fatia” que corta a linha bem no meio.”
Conteúdo: Coulomb, campo de uma distribuição linear de carga.
O que vamos usar:
  • lei de Coulomb no formato diferencial:
  • simetria cilíndrica: no plano só sobra componente radial.
  • montar e integrar de a .

Passo 2

Escolhe um ponto vec R = vec rP - vec rdq = (r,0,0) - (0,0,z) = (r,0,-z),, no plano R = raizr^2+z^2, a uma distância dvec E = 14pivarepsilon0,dqR^2,hat R = 14pivarepsilon0,rhoL,dz(r^2+z^2), vec RR = rhoL4pivarepsilon0,r,dz(r^2+z^2)^3/2, hat r do eixo . Em coordenadas cilíndricas, .
Um pedaço de carga em tem e está em .
O vetor de até é
com módulo
Pela lei de Coulomb, a contribuição em vale
(observe que somando todos os dá zero por simetria, sobra só ).

Passo 3

Agora integremos Er = integral-h^h rhoL4pivarepsilon0 r,dz(r^2+z^2)^3/2 = rhoL,r4pivarepsilon0, g[zr^2raizr^2+z^2g]-h^h de zr^2raizr^2+z^2|-h^h = hr^2raizr^2+h^2 - -hr^2raizr^2+h^2 = 2hr^2raizr^2+h^2 a Er = rhoL,r4pivarepsilon0, 2hr^2raizr^2+h^2 = rhoL4pivarepsilon0, 2hrraizr^2+h^2 :
Para ver esse passo, use a primitiva
.
Substituindo os limites:
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Resposta

No plano boxed vec E(r) = rhoL2pivarepsilon0;hrraizr^2+h^2;hat r, , o campo é puramente radial e vale
apontando para fora (se ) do eixo .

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