Duas linhas uniformes infinitas de cargas com rhoL=50 nC / m estendem-se ao longo das retas y=pm x no plano z=0. Calcule E em: (a) (0,0,2);

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos duas linhas infinitas de carga uniforme, cada uma com densidade linear E = lambda2pivarepsilon0,r . Elas ficam no plano , uma ao longo da reta e outra ao longo da reta . Queremos achar o vetor campo elétrico no ponto .
Conteúdo da matéria: campo elétrico de linhas de carga infinitas.
O que vamos precisar:
  • A fórmula do módulo do campo elétrico de uma linha infinita:
  • Cálculo da distância do ponto a cada linha.
  • Direção do campo (é radial, saindo da linha, já que a carga é positiva).
  • Soma vetorial das contribuições das duas linhas.

Passo 2

Calcular a distância hat u1 = (1,1,0)raiz1^2+1^2 = (1,1,0)raiz2 do ponto AP = (0,0,2) - (0,0,0) = (0,0,2) a cada linha de carga.
  1. Escolhemos um ponto da linha; como ela passa pela origem, usamos r = l|APtimes hat u1r||hat u1| .
  2. Para a reta (0,0,2)times(1,1,0)raiz2 = 1raiz2(-2,2,0) Longrightarrow l|dotsr| = 2raiz2raiz2 = 2 , o vetor direção unitário é
  3. O vetor de até é
  4. A distância de um ponto a uma reta pode ser obtida por Como , basta achar :
  5. Resultado: para a reta , .
Exatamente o mesmo raciocínio vale para a reta (direção ), e dá .

Passo 3

Calcular o módulo do campo elétrico produzido por cada linha no ponto Ei = rhoL2pivarepsilon0,ri, .
A fórmula é
E1 = E2 = rhoL2pivarepsilon0,(2) = rhoL4pivarepsilon0
onde .
Como , temos

Passo 4

Determinar a direção de cada contribuição.
  • A carga é positiva, então o campo “aponta para fora” da linha.
  • O vetor perpendicular da reta vec E1 = E1,hat z e vec E2 = E2,hat z até é , ou seja, na direção .
  • O mesmo vale para a reta .
Logo

Passo 5

Somar vetorialmente as duas contribuições:
vec E = vec E1 + vec E2 = rhoL4pivarepsilon0,hat z + rhoL4pivarepsilon0,hat z = rhoL2pivarepsilon0,hat z

Resposta

boxed vec E(0,0,2) = rhoL2pivarepsilon0,hat z approx 50times10^-92pi,(8,85times10^-12),hat z approx 9,0times10^2;V/m;hat z

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