Uma linhagem de Escherichia coli foi geneticamente modificada para produzir uma proteína humana. Um biorreator de coluna de bolhas (Vr=100 L) operando em modo batelada foi utilizado para a obtenção desta determinada proteína. A batelada iniciou-se com a inoculação de 12 g de células, com concentração inicial de glicose de 10 g / L. A taxa máxima de crescimento da cultura é de 0,9 h^-1. Considere o rendimento da biomassa a partir do consumo de glicose como 0,575 gg^-1. Considerar que a proteína está associada ao metabolismo energético e que o consumo de substrato para atividades de manutenção não é significativo.
Obter o balanço de massa para o reator operando em modo batelada para a biomassa e para o substrato.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos uma cultura de E. coli num biorreator de batelada de 100 L, iniciada com 12 g de células e 10 g/L de glicose. A taxa máxima de crescimento é μₘₐₓ = 0,9 h⁻¹ e o rendimento biomassa/glicose é Yₓ/ₛ = 0,575 g X / g S. Não tem consumo de substrato pra manutenção, então a glicose só serve pra crescer a célula.
Conteúdo: Engenharia de bioprocessos, balanço de massa em reator batelada e cinética de crescimento exponencial.
O que a gente vai precisar:
• A equação de balanço de massa em batelada: acúmulo = geração (já que não tem entrada nem saída).
• A cinética de crescimento (μ constante = μₘₐₓ) e a relação rendimento Yₓ/ₛ.

Passo 2

Primeiro, o balanço de massa para a biomassa X (g/L). Num batelada, sem fluxo de entrada ou saída, vale:
dXdt ;=; rX
e, pela cinética de crescimento exponencial (fase exponencial sem limitação de substrato),
rX = mu , X
Aqui a gente assume dXdt = 0,9,X á.
Então:

Passo 3

Agora a gente resolve essa ODE simples. É equação de crescimento exponencial:
dXdt = 0,9,X Longrightarrow X(t) = X0 , e^0,9,t
O valor inicial X0 = 12100 = 0,12 g/L é a concentração inicial de biomassa: boxedX(t) = 0,12;e^0,9,t (g/L) em , ou seja
Então

Passo 4

Agora o balanço de massa do substrato S (g/L). Também sem fluxo, mas com consumo pela biomassa:
dSdt = rS
Sabendo que o rendimento é
YX/S = De
Como dSdt = -10,575;(0,9,X) = -0,90,575;X , fica

Passo 5

Integrando S(t) = S0 - 1YX/Sl(X(t) - X0r) usando boxedS(t) = 10 ;-;10,575l(0,12,e^0,9,t - 0,12r) (g/L) :
Onde .
Substituindo :

Resposta

Balanços de massa no reator batelada:
  1. Biomassa:
dXdt = 0,9,X Longrightarrow X(t) = 0,12,e^0,9,t (g/L)
  1. Substrato:
dSdt = -0,90,575,X Longrightarrow S(t) = 10 ;-;10,575l(0,12,e^0,9,t - 0,12r) (g/L)

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