Uma linhagem de Escherichia coli foi geneticamente modificada para produzir uma proteína humana. Um biorreator de coluna de bolhas (Vr=100 L) operando em modo batelada foi utilizado para a obtenção desta determinada proteína. A batelada iniciou-se com a inoculação de 12 g de células, com concentração inicial de glicose de 10 g / L. A taxa máxima de crescimento da cultura é de 0,9 h^-1. Considere o rendimento da biomassa a partir do consumo de glicose como 0,575 gg^-1. Considerar que a proteína está associada ao metabolismo energético e que o consumo de substrato para atividades de manutenção não é significativo.
Estimar o tempo para que se alcance a fase estacionária.

Passo 1

Beleza, então a questão diz o seguinte: temos uma cultura de E. coli num biorreator de 100 L, começando com 12 g de biomassa e 10 g/L de glicose. A taxa máxima de crescimento é μₘáx = 0,9 h⁻¹ e o rendimento biomassa/glicose é Yₓ/ₛ = 0,575 gX/gS. Não tem consumo de manutenção, então toda glicose vira biomassa. O que vai rolar? Vamos usar cinética de crescimento exponencial e a relação rendimento para achar em que hora a glicose acaba (fase estacionária).
O que precisamos:
  1. Calcular quanto de glicose total temos: S₀ = 10 g/L × 100 L.
  2. Relacionar rendimento e variação de biomassa: ΔX = Yₓ/ₛ·S_consumido.
  3. Usar a equação de crescimento exponencial X = X₀·e^{μₘáx·t} pra achar t quando atingir X final.

Passo 2

Primeiro, a glicose total inicial é
S0 = 10;g/L times 100;L = 1000;g
Como não há consumo de manutenção, todo S vai gerar biomassa pelo rendimento:
De
Logo
Xf = X0 + YX/S,S0 = 12;g + 0.575;gXgStimes1000;g = 12 + 575 = 587;g

Passo 3

Agora usamos o modelo de crescimento exponencial, que diz:
X(t)=X0,e^mumax t
Queremos t tal que X(t)=X_f, então
$$X_f = X_0,e^{\mu_{\max} t}
\quad\Rightarrow\quad
e^{\mu_{\max} t} = \frac{X_f}{X_0}
\quad\Rightarrow\quad
t = \frac{1}{\mu_{\max}}\ln\Bigl(\frac{X_f}{X_0}\Bigr). Xf = X0,e^mumax t Rightarrow e^mumax t = XfX0 Rightarrow t = 1mumaxlnl(XfX0r)út = \frac{1}{0.9}\ln!\Bigl(\frac{587}{12}\Bigr)
= \frac{1}{0.9}\ln(48{,}9167)
\approx1{,}111;\ln(48{,}9167)
\approx1{,}111\times3{,}889
\approx4{,}32;\mathrm{h}.$$

Resposta

O tempo estimado para chegar à fase estacionária é de aproximadamente 4,3 horas.

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