Uma enzima michaeliana é utilizada em um processo operando em modo batelada. Os parâmetros cinéticos desta enzima são: Km=10 mmol / L, Vmax =50 mmol / L. Considere também que a reação global é do tipo S P. Assuma que não há desativação e nem inibição enzimática.
E se So for 11 mmol / L, apenas explique como você obteria o perfil da concentração de substrato e da conversão em função do tempo.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma reação enzimática seguindo cinética de Michaelis–Menten num batelada. Os dados são Km = 10 mmol/L e Vmax = 50 mmol/(L·h) (vou assumir horas, mas o tempo pode ser outra unidade). A reação é S → P, sem inativação ou inibição. Se o S₀ = 11 mmol/L, a ideia é achar como a concentração de S e a conversão X = (S₀–S)/S₀ variam com o tempo. Para isso vamos precisar:
  • Montar a equação diferencial de Michaelis–Menten para batelada: dS/dt = –Vmax·S/(Km+S).
  • Saber separar variáveis e integrar.
  • Definir conversão X em função de S(t).

Passo 2

Primeiro, a teoria da cinética de Michaelis–Menten em batelada diz que a velocidade de consumo de substrato é
dSdt = -Vmax,SKm + S
Aqui S é a concentração de substrato em função do tempo, Vmax e Km são constantes que já temos. A ideia é resolver essa EDO para achar S(t).

Passo 3

Vamos separar variáveis. Escrevemos
-Km + SS,dS = Vmax,dt
Dividindo e reagrupando:
-l(KmS + 1r),dS = Vmax,dt

Passo 4

Integramos dos limites iniciais (t=0, S=S₀) até um tempo t qualquer (S=S(t)):
∫ₛ₀ˢ [–(Km/S + 1)] dS = ∫₀ᵗ Vmax dt
-l[ KmlnSS0 + (S - S0)r] = Vmax,t
Reorganizando:
Vmax,t = (S0 - S) + Km,lnS0S

Passo 5

Essa equação é implícita para S(t). Se quisermos S(t) de forma explícita, podemos usar funções especiais (Lambert W) ou fazer solução numérica com MATLAB/Python/etc. Mas o que importa é que temos a relação
t(S) = S0 - SVmax + KmVmaxlnS0S
Basta inverter numericamente para achar S em cada t.

Passo 6

Depois de obter S(t), a conversão é definida como
X(t) = S0 - S(t)S0
Então, varrendo t de 0 até o tempo final, a gente gera dois perfis: S versus t e X versus t.

Resposta

Para traçar o perfil de substrato e conversão versus tempo:
  1. Use a EDO .
  2. Integre para obter implicitamente
  3. Inverta numericamente esta equação para achar S(t).
  4. Calcule .
    Pronto! Assim você tem S(t) e X(t) para qualquer t.

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