Uma enzima michaeliana é utilizada em um processo operando em modo batelada. Os parâmetros cinéticos desta enzima são:
, Vmax
. Considere também que a reação global é do tipo
. Assuma que não há desativação e nem inibição enzimática.
E se So for
, apenas explique como você obteria o perfil da concentração de substrato e da conversão em função do tempo.
E se So for
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma reação enzimática seguindo cinética de Michaelis–Menten num batelada. Os dados são Km = 10 mmol/L e Vmax = 50 mmol/(L·h) (vou assumir horas, mas o tempo pode ser outra unidade). A reação é S → P, sem inativação ou inibição. Se o S₀ = 11 mmol/L, a ideia é achar como a concentração de S e a conversão X = (S₀–S)/S₀ variam com o tempo. Para isso vamos precisar:
- Montar a equação diferencial de Michaelis–Menten para batelada: dS/dt = –Vmax·S/(Km+S).
- Saber separar variáveis e integrar.
- Definir conversão X em função de S(t).
Passo 2
Primeiro, a teoria da cinética de Michaelis–Menten em batelada diz que a velocidade de consumo de substrato é
Aqui S é a concentração de substrato em função do tempo, Vmax e Km são constantes que já temos. A ideia é resolver essa EDO para achar S(t).
Passo 3
Vamos separar variáveis. Escrevemos
Dividindo e reagrupando:
Passo 4
Integramos dos limites iniciais (t=0, S=S₀) até um tempo t qualquer (S=S(t)):
∫ₛ₀ˢ [–(Km/S + 1)] dS = ∫₀ᵗ Vmax dt
→
∫ₛ₀ˢ [–(Km/S + 1)] dS = ∫₀ᵗ Vmax dt
→
Reorganizando:
Passo 5
Essa equação é implícita para S(t). Se quisermos S(t) de forma explícita, podemos usar funções especiais (Lambert W) ou fazer solução numérica com MATLAB/Python/etc. Mas o que importa é que temos a relação
Basta inverter numericamente para achar S em cada t.
Passo 6
Depois de obter S(t), a conversão é definida como
Então, varrendo t de 0 até o tempo final, a gente gera dois perfis: S versus t e X versus t.
Resposta
Para traçar o perfil de substrato e conversão versus tempo:
- Use a EDO
. - Integre para obter implicitamente
- Inverta numericamente esta equação para achar S(t).
- Calcule
.
Pronto! Assim você tem S(t) e X(t) para qualquer t.