Um líquido contendo 30 moles \% de tolueno, 40 moles \% de etilbenzeno e 30 moles % de água é sujeita a um flash a uma pressão de 0,5 \mathrm{~atm}. Supondo que as misturas de etilbenzeno e tolueno obedecem à Lei de Raoult e que os hidrocarbonetos são completamente imiscíveis na água e vice-versa, calcule a temperatura e composição da fase vapor na temperatura do ponto de bolha.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é fornecido.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Calcular a temperatura do ponto de bolha (bubble point) da mistura submetida à pressão \,0{,}5\\ \mathrm{atm}.
    2. Calcular a composição da fase vapor (frações molares na fase vapor) nessa temperatura do ponto de bolha.
  • Informações dadas:
    • Composição global em moles: \;30\% tolueno, \;40\% etilbenzeno, \;30\% água (todas em base molar).
    • Pressão do flash: \;0{,}5\\ \mathrm{atm}.
    • Suposições: mistura tolueno + etilbenzeno obedece à Lei de Raoult (solução ideal entre eles); hidrocarbonetos são completamente imiscíveis com a água (ou seja, a água forma uma fase líquida separada e pura).
    • Não foram fornecidas constantes explícitas no enunciado; usaremos as equações de Antoine para obter as pressões de vapor saturadas ( P^{\mathrm{sat}}) de cada componente como função da temperatura.

Passo 2

Entendimento físico e formulação das equações de equilíbrio.
  • Conceito de ponto de bolha: é a temperatura na qual, para a pressão dada, a primeira bolha de vapor se forma quando o líquido é aquecido. Matemáticamente, é a temperatura T tal que a soma das pressões parciais dos componentes no vapor é igual à pressão do sistema:
P_{\text{tot}}=\sum_i P_i.
  • Para componentes que estão juntos numa mesma fase líquida ideal (aqui: tolueno e etilbenzeno na fase líquida dos hidrocarbonetos) a Lei de Raoult dá:
P_i = x_i\,P_i^{\mathrm{sat}}(T),
onde \;x_i é a fração molar do componente i na fase líquida em que ele está presente.
  • Como água é imiscível e forma sua própria fase líquida pura, a pressão parcial de água é a pressão de vapor do líquido puro:
P_{\text{H}_2\text{O}} = P_{\text{H}_2\text{O}}^{\mathrm{sat}}(T).
  • Portanto a condição do bubble point (na unidade mmHg, que usaremos por conveniência nas equações de Antoine) é:
x_{\text{tol}}P_{\text{tol}}^{\mathrm{sat}}(T) + x_{\text{eb}}P_{\text{eb}}^{\mathrm{sat}}(T) + P_{\text{H}_2\text{O}}^{\mathrm{sat}}(T) = P_{\text{tot}}.

Passo 3

Determinar as frações molares líquidas relevantes (devidos à imiscibilidade).
  • A composição global dada é: \;30\% tolueno, \;40\% etilbenzeno, \;30\% água.
  • Como tolueno e etilbenzeno são imiscíveis com a água, a fase líquida de hidrocarbonetos contém apenas tolueno + etilbenzeno e a fração molar de cada um nessa fase líquida deve ser normalizada à soma dos hidrocarbonetos:
x_{\text{tol}}=\frac{0{,}30}{0{,}30+0{,}40}=\frac{0{,}30}{0{,}70}=\frac{3}{7}\approx0{,}4286,
x_{\text{eb}}=\frac{0{,}40}{0{,}70}=\frac{4}{7}\approx0{,}5714.
  • A água na sua fase líquida tem x_{\text{H}_2\text{O}}=1 (líquido puro).

Passo 4

Equações para as pressões de vapor puras — equação de Antoine e constantes usadas.
  • Usaremos a equação de Antoine na forma
\log_{10}\bigl(P^{\mathrm{sat}}(\text{mmHg})\bigr)=A-\frac{B}{T(^{\circ}\mathrm{C})+C},
onde P^{\mathrm{sat}} vem em mmHg e T em ^\circ\mathrm{C}.
  • Constantes adotadas (valores padrão para a faixa de temperatura considerada):
    • Água: A=8{,}07131,\quad B=1730{,}63,\quad C=233{,}426.
    • Tolueno: A=6{,}95464,\quad B=1344{,}8,\quad C=219{,}482.
    • Etilbenzeno (constantes compatíveis na mesma forma): A=6{,}94459,\quad B=1351{,}99,\quad C=217{,}572.
(essas constantes geram P^{\mathrm{sat}} em mmHg e são apropriadas para a faixa de temperatura ~ 50–200 °C; estamos usando-as porque o enunciado não forneceu constantes e esse é o procedimento padrão.)

Passo 5

Converter a pressão total para a mesma unidade e escrever a equação a resolver.
  • Pressão do sistema:
P_{\text{tot}}=0{,}5\\ \mathrm{atm} = 0{,}5\times760\\ \text{mmHg}=380\\ \text{mmHg}.
  • Equação a resolver para T (em ^\circ\mathrm{C}):
x_{\text{tol}}\,P_{\text{tol}}^{\mathrm{sat}}(T)+x_{\text{eb}}\,P_{\text{eb}}^{\mathrm{sat}}(T)+P_{\text{H}_2\text{O}}^{\mathrm{sat}}(T)=380\\ \text{mmHg},
com x_{\text{tol}}=3/7 e x_{\text{eb}}=4/7, e P_i^{\mathrm{sat}}(T) dados pela equação de Antoine do passo anterior.

Passo 6

Método numérico (iteração) para encontrar a temperatura do ponto de bolha.
  • A equação é não-linear em T; vamos calcular P^{\mathrm{sat}} para cada componente em diferentes temperaturas e achar T tal que a soma das pressões parciais = 380\\ \text{mmHg}.
  • Fiz avaliação em pontos e interpolei linearmente entre pontos próximos (método prático em prova quando não há calculadora de raiz automática). Mostro os cálculos essenciais chegando ao valor final.
Cálculo detalhado próximo ao resultado (usando a equação de Antoine para cada componente e substituindo x_i):
Em T\approx67{,}44\,^{\circ}\mathrm{C} (resultado da iteração), obtemos:
  • Para a água:
\log_{10}P^{\mathrm{sat}}_{\text{H}_2\text{O}}=8{,}07131-\frac{1730{,}63}{67{,}44+233{,}426}=2{,}3214,
P^{\mathrm{sat}}_{\text{H}_2\text{O}}=10^{2{,}3214}\approx209{,}8\\ \text{mmHg}.
  • Para o tolueno:
\log_{10}P^{\mathrm{sat}}_{\text{tol}}=6{,}95464-\frac{1344{,}8}{67{,}44+219{,}482}=2{,}2682,
P^{\mathrm{sat}}_{\text{tol}}=10^{2{,}2682}\approx185{,}4\\ \text{mmHg},
P_{\text{tol}}=x_{\text{tol}}\,P^{\mathrm{sat}}_{\text{tol}}=\frac{3}{7}\times185{,}4\approx79{,}5\\ \text{mmHg}.
  • Para o etilbenzeno:
\log_{10}P^{\mathrm{sat}}_{\text{eb}}=6{,}94459-\frac{1351{,}99}{67{,}44+217{,}572}=2{,}1998,
P^{\mathrm{sat}}_{\text{eb}}=10^{2{,}1998}\approx158{,}3\\ \text{mmHg},
P_{\text{eb}}=x_{\text{eb}}\,P^{\mathrm{sat}}_{\text{eb}}=\frac{4}{7}\times158{,}3\approx90{,}5\\ \text{mmHg}.
  • Soma das pressões parciais:
P_{\text{tot}}^{\text{calc}}=209{,}8 + 79{,}5 + 90{,}5 \approx 379{,}8\\ \text{mmHg}\approx380\\ \text{mmHg},
compatível com a pressão do sistema (pequena diferença numérica de arredondamento).
Portanto a temperatura do ponto de bolha encontrada é aproximadamente \,67{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Cálculo da composição da fase vapor (frações molares y_i) na temperatura do ponto de bolha.
  • As frações molares na fase vapor são dadas por Dalton:
y_i=\frac{P_i}{P_{\text{tot}}}.
Usando os valores parciais calculados no passo anterior (e P_{\text{tot}}=380\\ \text{mmHg} arredondado):
  • Para a água:
y_{\text{H}_2\text{O}}=\frac{209{,}8}{379{,}8}\approx0{,}5526\\ (\text{ou }55{,}3\%).
  • Para o tolueno:
y_{\text{tol}}=\frac{79{,}5}{379{,}8}\approx0{,}2095\\ (\text{ou }21{,}0\%).
  • Para o etilbenzeno:
y_{\text{eb}}=\frac{90{,}5}{379{,}8}\approx0{,}2380\\ (\text{ou }23{,}8\%).
(As três frações somam aproximadamente 1{,}000, como esperado.)

Resposta

Temperatura do ponto de bolha: \;67{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.\nComposição da fase vapor (frações molares):\n \;y_{\text{tol}}\approx0{,}2095\n \;y_{\text{eb}}\approx0{,}2380\n \;y_{\text{H}_2\text{O}}\approx0{,}5526

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