Uma mistura líquida de 100 kgmol contendo 60 \% molar de benzeno, 25 \% molar de tolueno e 15 \% molar de o-xileno é colocada em um tanque de flash a 100^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , Determine as quantidades de líquido e vapor e suas composições (Assuma solução ideal e use a equação de Antoine).

Passo 1

O enunciado dá uma mistura líquida de 100\\ \text{kgmol} com as frações molares globais (feed):
z_{\text{ben}}=0{,}60,\quad z_{\text{tol}}=0{,}25,\quad z_{\text{o-xil}}=0{,}15.
A mistura é colocada em um flash a \,100^\circ\mathrm{C} e \,1\\ \text{atm}.
O que se pede:
  • Determinar as quantidades de líquido (L) e vapor (V) em \text{kgmol}.
  • Determinar as composições molares do líquido (x_i) e do vapor (y_i).
    Informações relevantes (do enunciado): temperatura T=100^\circ\mathrm{C}, pressão total P=1\\ \text{atm}, solução ideal e usar a equação de Antoine para as pressões de vapor dos componentes.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma prática):
  1. Equação de Antoine (serve para calcular a pressão de vapor de um líquido puro a uma temperatura T):
\log_{10} P_i^{\text{sat}} = A_i - \frac{B_i}{C_i + T}
onde P_i^{\text{sat}} é a pressão de vapor do componente i (aqui vou calcular em \text{mmHg}), T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C}, e A_i,B_i,C_i são constantes empíricas específicas de cada substância (retiradas de tabelas). Explico: depois de calcular P_i^{\text{sat}} em \text{mmHg} convertemos para \text{atm} dividindo por 760\\ \text{mmHg/atm}.
2) Lei de Raoult (solução ideal): a pressão parcial de i sobre a solução é
P_i = x_i\,P_i^{\text{sat}}(T),
onde x_i é a fração molar do componente i na fase líquida.
3) Relação entre K-fatores e Antoine (para balanceamento do flash): em equilíbrio
K_i \equiv \frac{y_i}{x_i} = \frac{P_i^{\text{sat}}}{P},
já que y_i = P_i/P e P_i = x_i P_i^{\text{sat}}. Aqui P é a pressão total (aqui 1\\ \text{atm}).
4) Balanço de matéria e equação de Rachford–Rice (para encontrar fração de vapor \beta\equiv V/F): a equação que resulta é
\sum_{i} \frac{z_i (K_i - 1)}{1 + \beta (K_i - 1)} = 0.
Explicação curta: essa equação garante que as frações molares somem 1 em cada fase e que o balanço global de cada componente é obedecido; \beta é a incógnita que nos dá a quantidade de vapor e líquido.
5) Uma vez obtida \beta, obtemos:
V = \beta F,\quad L = (1-\beta)F,
x_i = \frac{z_i}{1 + \beta (K_i - 1)},\quad y_i = K_i x_i.

Passo 3

Escolha das constantes de Antoine e cálculo de P_i^{\text{sat}} a 100^\circ\mathrm{C}. (As constantes usadas foram tomadas de tabelas padrão; apresento aqui os valores que vou aplicar.)
  • Para o benzeno: A=6{,}90565,\; B=1211{,}033,\; C=220{,}790 (unidades: P em \text{mmHg}, T em ^\circ\mathrm{C}). Aplicando:
\log_{10} P_{\text{ben}}^{\text{sat}} = 6{,}90565 - \frac{1211{,}033}{220{,}790 + 100}.
Calculemos passo a passo: 220{,}790+100=320{,}79. Então
\frac{1211{,}033}{320{,}79}=3{,}7760\quad\Rightarrow\quad \log_{10} P_{\text{ben}}^{\text{sat}}=6{,}90565-3{,}7760=3{,}12965.
Portanto
P_{\text{ben}}^{\text{sat}} = 10^{3{,}12965}=1346\\ \text{mmHg} \approx \frac{1346}{760}=1{,}771\\ \text{atm}.
  • Para o tolueno: A=6{,}95464,\; B=1344{,}8,\; C=219{,}48.
\log_{10} P_{\text{tol}}^{\text{sat}} = 6{,}95464 - \frac{1344{,}8}{219{,}48 + 100}.
219{,}48+100=319{,}48. Então
\frac{1344{,}8}{319{,}48}=4{,}210\quad\Rightarrow\quad \log_{10} P_{\text{tol}}^{\text{sat}}=6{,}95464-4{,}210=2{,}7446,
P_{\text{tol}}^{\text{sat}} = 10^{2{,}7446}=556\\ \text{mmHg} \approx \frac{556}{760}=0{,}732\\ \text{atm}.
  • Para o o-xileno: (os coeficientes de Antoine variam um pouco entre fontes; usei um conjunto representativo que fornece um vapor a 100^\circ\mathrm{C} compatível com tabelas). Usarei os parâmetros aproximados A=6{,}900,\; B=1494{,}0,\; C=219{,}50 (unidades como acima). Aplicando:
\log_{10} P_{\text{o-xil}}^{\text{sat}} = 6{,}900 - \frac{1494{,}0}{219{,}50 + 100}.
219{,}50+100=319{,}50. Então
\frac{1494{,}0}{319{,}50}=4{,}675\quad\Rightarrow\quad \log_{10} P_{\text{o-xil}}^{\text{sat}}=6{,}900-4{,}675=2{,}225,
P_{\text{o-xil}}^{\text{sat}} = 10^{2{,}225}=168\\ \text{mmHg} \approx \frac{168}{760}=0{,}221\\ \text{atm}.
Observação (didática e honesta): consulte sempre a tabela/CRC do seu curso para os coeficientes exatos — aqui usei valores padrão para benzeno e tolueno e um conjunto representativo para o o-xileno; o procedimento é idêntico com quaisquer constantes corretas.

Passo 4

Cálculo dos K-fatores (porque K_i = P_i^{\text{sat}}/P, com P=1\\ \text{atm}):
K_{\text{ben}} = \frac{1{,}771}{1}=1{,}771, \quad K_{\text{tol}} = \frac{0{,}732}{1}=0{,}732, \quad K_{\text{o-xil}} = \frac{0{,}221}{1}=0{,}221.

Passo 5

Montagem da equação de Rachford–Rice para \beta:
f(\beta) = \sum_i \frac{z_i (K_i - 1)}{1 + \beta (K_i - 1)} = 0,
com z_{\text{ben}}=0{,}60,\; z_{\text{tol}}=0{,}25,\; z_{\text{o-xil}}=0{,}15.
Vou resolver numericamente mostrando iterações (método de bisseção/avaliação simples): primeiro calcule K_i-1:
K_{\text{ben}}-1=0{,}771,\quad K_{\text{tol}}-1=-0{,}268,\quad K_{\text{o-xil}}-1=-0{,}779.
Avaliações:
  • Em \beta=0, f(0)=\sum z_i(K_i-1)=0{,}2785>0.
  • Em \beta=1, f(1)=\sum z_i\left(1-\frac{1}{K_i}\right)=-0{,}3624<0.
    Logo a raiz está em (0,1). Testando valores intermediários (faço algumas avaliações rápidas):
\beta=0{,}5\Rightarrow f(0{,}5)=0{,}0647>0.
\beta=0{,}6\Rightarrow f(0{,}6)=0{,}0165>0.
\beta=0{,}63\Rightarrow f(0{,}63)\approx 0{,}0006\approx 0.
Portanto a raiz é aproximadamente
\beta \approx 0{,}63.

Passo 6

Quantidades de vapor e líquido (lembrando F=100\\ \text{kgmol}):
V = \beta F = 0{,}63 \cdot 100 = 63{,}0\\ \text{kgmol},
L = F - V = 100 - 63{,}0 = 37{,}0\\ \text{kgmol}.

Passo 7

Cálculo das composições da fase líquida x_i (fórmula direta):
x_i = \frac{z_i}{1 + \beta (K_i - 1)}.
Calculemos componente a componente com \beta=0{,}63:
  • Benzeno:
1+\beta(K_{\text{ben}}-1)=1+0{,}63\cdot 0{,}771=1{,}4857, \quad x_{\text{ben}}=\frac{0{,}60}{1{,}4857}=0{,}4039.
  • Tolueno:
1+\beta(K_{\text{tol}}-1)=1+0{,}63\cdot(-0{,}268)=0{,}8309, \quad x_{\text{tol}}=\frac{0{,}25}{0{,}8309}=0{,}3008.
  • o-Xileno:
1+\beta(K_{\text{o-xil}}-1)=1+0{,}63\cdot(-0{,}779)=0{,}5086, \quad x_{\text{o-xil}}=\frac{0{,}15}{0{,}5086}=0{,}2953.
Verificação rápida: x_{\text{ben}}+x_{\text{tol}}+x_{\text{o-xil}}=1{,}000 (diferenças por arredondamento mínimo).

Passo 8

Cálculo das composições da fase vapor y_i:
y_i = K_i x_i.
  • Benzeno:
y_{\text{ben}} = 1{,}771 \cdot 0{,}4039 = 0{,}7154.
  • Tolueno:
y_{\text{tol}} = 0{,}732 \cdot 0{,}3008 = 0{,}2200.
  • o-Xileno:
y_{\text{o-xil}} = 0{,}221 \cdot 0{,}2953 = 0{,}0650.
Verificação: y_{\text{ben}}+y_{\text{tol}}+y_{\text{o-xil}} \approx 1{,}000.

Resposta

Vapor V=63{,}0\\ \text{kgmol} e líquido L=37{,}0\\ \text{kgmol}.
Composição do vapor (molefrações): y_{\text{ben}}=0{,}715,\; y_{\text{tol}}=0{,}220,\; y_{\text{o-xil}}=0{,}065.
Composição do líquido (molefrações): x_{\text{ben}}=0{,}404,\; x_{\text{tol}}=0{,}301,\; x_{\text{o-xil}}=0{,}295.

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