Uma mistura de etanol-água com
molar de etanol deve ser separada em um tanque de flash a 1 atm , Qual é a quantidade de líquido que deve ser vaporizado para:
a) O produto vapor conter
molar de etanol?
b) O produto líquido conter
molar de etanol?
a) O produto vapor conter
b) O produto líquido conter
Passo 1
O enunciado dá uma alimentação líquida com fração molar de etanol
. O flash opera a
. Pergunta-se qual fração do líquido deve ser vaporizada para que:
a) o produto vapor tenha molar de etanol (ou seja
);
b) o produto líquido tenha molar de etanol (ou seja
).\n
Informações / dados fornecidos explicitamente:
a) o produto vapor tenha
b) o produto líquido tenha
Informações / dados fornecidos explicitamente:
O que precisamos obter para cada item é a fração vaporizada
(em base molar, assumindo
mol de alimentação para facilitar contas). Nada mais foi dado (temperatura, K-values), então vou assumir o modelo padrão de equilíbrio para este tipo de problema: mistura ideal, lei de Raoult e usar constantes de Antoine para calcular as pressões de vapor saturado
. Vou expor essas suposições e os dados numéricos das constantes de Antoine que usei logo no passo seguinte.
Passo 2
Modelagem e equações básicas (aulas rápidas e intuitivas antes de aplicar):\n
- Balanço global de matéria (tomando
mol como base): se é a fração molar vaporizada então a fração líquida restante é . Composição global de etanol:
Dessa equação isolamos
:
Explicação didática: essa fórmula vem de rearranjar o balanço
para achar
. Ela vale para qualquer mistura binária em equilíbrio (desde que
).\n
- Equilíbrio vapor–líquido ideal (lei de Raoult, usada em muitos problemas de prova):
Aqui
é a fração molar do componente
na fase vapor,
é a fração molar na fase líquida,
é a pressão de vapor do componente puro à temperatura
do flash e
é a pressão total (1 atm).\n
- Para uma mistura binária (etanol + água) as duas equações de equilíbrio são:
Essas duas equações permitem eliminar
ou
e obter uma equação para a temperatura
(pois
's dependem de
).\n
- Constantes de Antoine (vou usar as formas clássicas com
em mmHg e em C). Valores standard (tabelados) usados aqui:
(essas equações dão
em mmHg; usei-as porque são comumente usadas em exercícios universitários — estou explicitando porque o enunciado não deu
's ou temperaturas).\n
Método numérico: como não é dado, vou montar a equação de equilíbrio que depende de
e achar
por iteração (bisseção/ interpolação simples). Depois calculo
's,
ou
e finalmente
pela fórmula do balanço. Vou mostrar os passos e cálculos numa forma que você pode reproduzir à mão (com algumas iterações numéricas).
Método numérico: como
Passo 3
Queremos
. Usando equilíbrio:
Também a equação de água em equilíbrio dá (substituindo
):
Reorganizando para formar uma função de
que deve ser zero:
Neste item
. Vou resolver numericamente
variando
(em °C) e usando as equações de Antoine para
, e então
. Mostro algumas iterações importantes (valores arredondados com 3 algarismos significativos):\n
Tentativa C (cálculos via Antoine):
Tentativa
Negativo. Teste extremo superior.\n
Tentativa C:
Tentativa
Tentativa
C:
Logo a raiz está entre
C e
C; interpolando encontrei
Com esse
calculamos:
Então a composição líquida correspondente é
Finalmente a fração vaporizada pela fórmula do balanço (com
):
Interpretação física e conclusão do item (a):
saiu negativo (
), ou seja, não existe uma fração de vapor entre
e
que produza vapor com
de etanol a
atm partindo de uma alimentação líquida com
de etanol em um único estágio de flash com equilíbrio. Em linguagem direta: é impossível — para obter vapor com
de etanol por um flash simples a
atm a partir dessa alimentação seria necessário que a fase líquida em equilíbrio tivesse mais etanol do que a alimentação (o que exige condensação ou outra operação), daí o sinal negativo. Portanto não há quantidade física de líquido a vaporiz ar que resolva (a resposta matemática é negativa → solução física inexistente).
Passo 4
Agora queremos
. As equações de equilíbrio são:
e
Substituindo
na segunda equação obtemos a equação em
:
Aqui
. Vou resolver numericamente
com iterações semelhantes.\n
Testes rápidos (valores arredondados):\n
C:\quad
(positivo).\
C:\quad
.\
C:\quad
.
Testes rápidos (valores arredondados):\n
Interpolando achei:
Com esse
obtemos (valores aproximados):
Então
Agora a fração vaporizada pedida:
Interpretação física:
é maior que
, ou seja, a fração vaporizada exigida seria maior que a alimentação inteira — impossível fisicamente em um único estágio de flash. Em outras palavras: você não consegue, por apenas vaporização parcial em equilíbrio a
atm, obter uma fase líquida tão pobre (
de etanol) a partir de uma alimentação com
de etanol; seria necessário um processo adicional (mais estágios, destilação, ou remover parte do etanol por outro modo) para alcançar essa pureza líquida.\n
Conclusão do item (b): a solução matemática existe mas cai fora do intervalo físico , logo não é possível obter esse produto líquido por um flash simples nas condições dadas.
Conclusão do item (b): a solução matemática existe mas cai fora do intervalo físico
Resposta
a) Impossível — a equação de equilíbrio e balanço dão
(valor não físico), portanto não existe fração vaporizada
que produza vapor com
EtOH a 1 atm a partir de
.\n
b) Impossível — a resolução dá (valor maior que 1), portanto não se pode obter líquido com
EtOH por um único flash em 1 atm a partir de
.
b) Impossível — a resolução dá