Uma mistura de etanol-água com 25 \% molar de etanol deve ser separada em um tanque de flash a 1 atm , Qual é a quantidade de líquido que deve ser vaporizado para:
a) O produto vapor conter 50 \% molar de etanol?
b) O produto líquido conter 7 \% molar de etanol?

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação líquida com fração molar de etanol 25\%. O flash opera a 1\\ \text{atm}. Pergunta-se qual fração do líquido deve ser vaporizada para que:
a) o produto vapor tenha 50\% molar de etanol (ou seja y_{\text{EtOH}}=0,50);
b) o produto líquido tenha 7\% molar de etanol (ou seja x_{\text{EtOH}}=0,07).\n
Informações / dados fornecidos explicitamente:
z_F = 0,25\quad(\text{fração molar de etanol na alimentação}),\qquad P=1\\ \text{atm}=760\\ \text{mmHg}.çãçã
O que precisamos obter para cada item é a fração vaporizada V (em base molar, assumindo F=1 mol de alimentação para facilitar contas). Nada mais foi dado (temperatura, K-values), então vou assumir o modelo padrão de equilíbrio para este tipo de problema: mistura ideal, lei de Raoult e usar constantes de Antoine para calcular as pressões de vapor saturado P_i^{\text{sat}}(T). Vou expor essas suposições e os dados numéricos das constantes de Antoine que usei logo no passo seguinte.

Passo 2

Modelagem e equações básicas (aulas rápidas e intuitivas antes de aplicar):\n
  • Balanço global de matéria (tomando F=1 mol como base): se V é a fração molar vaporizada então a fração líquida restante é L=1-V. Composição global de etanol:
z_F = V\,y + (1-V)\,x.
Dessa equação isolamos V:
V = \frac{z_F - x}{y - x}.
Explicação didática: essa fórmula vem de rearranjar o balanço \;z_F = x + V(y-x)\; para achar V. Ela vale para qualquer mistura binária em equilíbrio (desde que y\neq x).\n
  • Equilíbrio vapor–líquido ideal (lei de Raoult, usada em muitos problemas de prova):
y_i = K_i\,x_i,\qquad K_i=\frac{P_i^{\text{sat}}(T)}{P}.
Aqui y_i é a fração molar do componente i na fase vapor, x_i é a fração molar na fase líquida, P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor do componente puro à temperatura T do flash e P é a pressão total (1 atm).\n
  • Para uma mistura binária (etanol + água) as duas equações de equilíbrio são:
y_{\text{EtOH}} = K_{\text{EtOH}}(T)\,x_{\text{EtOH}},\qquad 1-y_{\text{EtOH}} = K_{\text{H_2O}}(T)\,(1-x_{\text{EtOH}}).
Essas duas equações permitem eliminar y ou x e obter uma equação para a temperatura T (pois K's dependem de T).\n
  • Constantes de Antoine (vou usar as formas clássicas com P em mmHg e T em ^\circC). Valores standard (tabelados) usados aqui:
\log_{10}P^{\text{sat}}_{\text{EtOH}} = 8{,}20417 - \frac{1642{,}89}{T+230{,}300},
\log_{10}P^{\text{sat}}_{\text{H}_2\text{O}} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{T+233{,}426}.
(essas equações dão P^{\text{sat}} em mmHg; usei-as porque são comumente usadas em exercícios universitários — estou explicitando porque o enunciado não deu K's ou temperaturas).\n
Método numérico: como T não é dado, vou montar a equação de equilíbrio que depende de T e achar T por iteração (bisseção/ interpolação simples). Depois calculo K's, x ou y e finalmente V pela fórmula do balanço. Vou mostrar os passos e cálculos numa forma que você pode reproduzir à mão (com algumas iterações numéricas).

Passo 3

Queremos y_{\text{EtOH}} = 0{,}50. Usando equilíbrio:
x = \frac{y}{K_{\text{EtOH}}(T)}.
Também a equação de água em equilíbrio dá (substituindo x):
1-y = K_{\text{H}_2\text{O}}(T)\left(1-\frac{y}{K_{\text{EtOH}}(T)}\right).
Reorganizando para formar uma função de T que deve ser zero:
f(T) = K_{\text{H}_2\text{O}}(T) - \frac{K_{\text{H}_2\text{O}}(T)\,y}{K_{\text{EtOH}}(T)} - 1 + y = 0.
Neste item y=0{,}50. Vou resolver numericamente f(T)=0 variando T (em °C) e usando as equações de Antoine para P^{\text{sat}}, e então K_i = P_i^{\text{sat}}/760. Mostro algumas iterações importantes (valores arredondados com 3 algarismos significativos):\n
Tentativa T=70^\circC (cálculos via Antoine):
P^{\text{sat}}_{\text{EtOH}}\approx 537{,}6\\ \text{mmHg}\Rightarrow K_{\text{EtOH}}\approx 0{,}707,
P^{\text{sat}}_{\text{H}_2\text{O}}\approx 233{,}6\\ \text{mmHg}\Rightarrow K_{\text{H}_2\text{O}}\approx 0{,}307.
f(70^\circ\text{C}) \approx 0{,}307 - \frac{0{,}307\cdot 0{,}5}{0{,}707} - 1 + 0{,}5 \approx -0{,}41.
Negativo. Teste extremo superior.\n
Tentativa T=90^\circC:
K_{\text{EtOH}}\approx 1{,}571,\qquad K_{\text{H}_2\text{O}}\approx 0{,}690,
f(90^\circ\text{C})\approx -0{,}030\\ (\text{quase zero, ainda negativo}).
Tentativa T=92^\circC:
K_{\text{EtOH}}\approx 1{,}676,\qquad K_{\text{H}_2\text{O}}\approx 0{,}745,
f(92^\circ\text{C})\approx +0{,}023\\ (\text{positivo}).
Logo a raiz está entre 90^\circC e 92^\circC; interpolando encontrei
T\approx 91{,}13^\circ\text{C}.
Com esse T calculamos:
K_{\text{EtOH}}\approx 1{,}632,\qquad K_{\text{H}_2\text{O}}\approx 0{,}722.
Então a composição líquida correspondente é
x = \frac{y}{K_{\text{EtOH}}} = \frac{0{,}50}{1{,}632}\approx 0{,}3065.
Finalmente a fração vaporizada pela fórmula do balanço (com z_F=0{,}25):
V = \frac{z_F - x}{y - x} = \frac{0{,}25 - 0{,}3065}{0{,}50 - 0{,}3065} \approx -0{,}292.
Interpretação física e conclusão do item (a): V saiu negativo ( V\approx -0{,}292), ou seja, não existe uma fração de vapor entre 0 e 1 que produza vapor com 50\% de etanol a 1 atm partindo de uma alimentação líquida com 25\% de etanol em um único estágio de flash com equilíbrio. Em linguagem direta: é impossível — para obter vapor com 50\% de etanol por um flash simples a 1 atm a partir dessa alimentação seria necessário que a fase líquida em equilíbrio tivesse mais etanol do que a alimentação (o que exige condensação ou outra operação), daí o sinal negativo. Portanto não há quantidade física de líquido a vaporiz ar que resolva (a resposta matemática é negativa → solução física inexistente).

Passo 4

Agora queremos x_{\text{EtOH}}=0{,}07. As equações de equilíbrio são:
y = K_{\text{EtOH}}(T)\,x
e
1-y = K_{\text{H}_2\text{O}}(T)\,(1-x).
Substituindo y na segunda equação obtemos a equação em T:
g(T) = 1 - K_{\text{H}_2\text{O}}(T) - K_{\text{EtOH}}(T)\,x + K_{\text{H}_2\text{O}}(T)\,x = 0.
Aqui x=0{,}07. Vou resolver numericamente g(T)=0 com iterações semelhantes.\n
Testes rápidos (valores arredondados):\n
T=60^\circC:\quad K_{\text{EtOH}}\approx 0{,}458,\;K_{\text{H}_2\text{O}}\approx 0{,}196\Rightarrow g(60^\circ\text{C})\approx +0{,}786 (positivo).\
T=95^\circC:\quad K_{\text{EtOH}}\approx 1{,}875,\;K_{\text{H}_2\text{O}}\approx 0{,}830\Rightarrow g(95^\circ\text{C})\approx +0{,}097.\
T=100^\circC:\quad K_{\text{EtOH}}\approx 2{,}224,\;K_{\text{H}_2\text{O}}\approx 1{,}005\Rightarrow g(100^\circ\text{C})\approx -0{,}090.
\text{Logo a raiz está entre }95^\circ\text{C e }100^\circ\text{C.}á
Interpolando achei:
T\approx 97{,}8^\circ\text{C}.
Com esse T obtemos (valores aproximados):
K_{\text{EtOH}}\approx 2{,}08,\qquad K_{\text{H}_2\text{O}}\approx 0{,}92.
Então
y = K_{\text{EtOH}}\,x \approx 2{,}08\times 0{,}07 \approx 0{,}146.
Agora a fração vaporizada pedida:
V = \frac{z_F - x}{y - x} = \frac{0{,}25 - 0{,}07}{0{,}146 - 0{,}07} = \frac{0{,}18}{0{,}076}\approx 2{,}37.
Interpretação física: V\approx 2{,}37 é maior que 1, ou seja, a fração vaporizada exigida seria maior que a alimentação inteira — impossível fisicamente em um único estágio de flash. Em outras palavras: você não consegue, por apenas vaporização parcial em equilíbrio a 1 atm, obter uma fase líquida tão pobre ( 7\% de etanol) a partir de uma alimentação com 25\% de etanol; seria necessário um processo adicional (mais estágios, destilação, ou remover parte do etanol por outro modo) para alcançar essa pureza líquida.\n
Conclusão do item (b): a solução matemática existe mas cai fora do intervalo físico 0\le V\le 1, logo não é possível obter esse produto líquido por um flash simples nas condições dadas.

Resposta

a) Impossível — a equação de equilíbrio e balanço dão V\approx -0{,}292 (valor não físico), portanto não existe fração vaporizada 0\le V\le1 que produza vapor com 50\% EtOH a 1 atm a partir de z_F=0{,}25.\n
b) Impossível — a resolução dá V\approx 2{,}37 (valor maior que 1), portanto não se pode obter líquido com 7\% EtOH por um único flash em 1 atm a partir de z_F=0{,}25.

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