Um líquido de densidade
escoa através de um tubo horizontal que tem uma área de seção transversal
na região
e uma área de seção transversal
na região
. A diferença de pressão entre as duas regiões é
. ( 5,0 pontos)
a) Qual é a vazão do escoamento?
b) Qual é a vazão de massa do escoamento?
c) Qual é o volume do líquido que escoa pela tubulação em 24 horas?
a) Qual é a vazão do escoamento?
b) Qual é a vazão de massa do escoamento?
c) Qual é o volume do líquido que escoa pela tubulação em 24 horas?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
- Densidade do líquido:
. - Área da seção em
: . (Vou converter para metros quadrados: .) - Área da seção em
: . (Convertendo: .) - Diferença de pressão entre as duas regiões:
. O enunciado não diz qual região tem maior pressão, mas como a área em é maior que em , a velocidade é menor em e logo a pressão é maior em . Assim tomarei .
O que se pede:
a) a vazão volumétrica do escoamento;
b) a vazão mássica ;
c) o volume que passa pela tubulação em 24 horas.
a) a vazão volumétrica
b) a vazão mássica
c) o volume que passa pela tubulação em 24 horas.
Passo 2
Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível em regime estacionário: a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção, logo
onde
e
são as velocidades médias nas seções
e
. Desta equação obtemos a relação entre as velocidades:
Vou chamar a razão
. Calculando:
Portanto
.
Passo 3
Energia entre duas seções de um fluido incompressível, sem atrito e em regime estacionário (forma de Bernoulli aplicada entre
e
, como o tubo é horizontal as alturas cancelam):
Subtraindo
dos dois lados e reordenando com
:
Agora substituímos
para eliminar
.
Passo 4
Substituindo
em
dá:
Isolando
:
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule
. Como
,
Substituindo em
:
Simplificando (multiplicando numerador e denominador convenientemente) obtemos a forma exata
Tirando a raiz quadrada:
(Arredondei
para três algarismos significativos:
.)
Passo 5
Calcular a vazão volumétrica
usando
. Com
e
:
Expliquei: multiplica-se velocidade pela área para obter volume por tempo (m³/s).
Passo 6
Vazão mássica
é dada por
Substituindo
e
:
Passo 7
Volume que escoa em 24 horas: convertemos 24 horas para segundos,
O volume total
é
(Interpretação: mantém-se a mesma vazão durante 24 h, multiplica-se por tempo para obter volume.)
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)