Um líquido de densidade 1200 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} escoa através de um tubo horizontal que tem uma área de seção transversal 50 \mathrm{~cm}^{2} na região A e uma área de seção transversal 120 \mathrm{~cm}^{2} na região B. A diferença de pressão entre as duas regiões é 8,6 \times 10^{3} \mathrm{~Pa}. ( 5,0 pontos)
a) Qual é a vazão do escoamento?
b) Qual é a vazão de massa do escoamento?
c) Qual é o volume do líquido que escoa pela tubulação em 24 horas?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
  • Densidade do líquido: \rho=1200\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Área da seção em A: A_{A}=50\\ \mathrm{cm}^{2}. (Vou converter para metros quadrados: A_{A}=50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}.)
  • Área da seção em B: A_{B}=120\\ \mathrm{cm}^{2}. (Convertendo: A_{B}=120\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}=1{,}20\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{2}.)
  • Diferença de pressão entre as duas regiões: \Delta p=8{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}. O enunciado não diz qual região tem maior pressão, mas como a área em B é maior que em A, a velocidade é menor em B e logo a pressão é maior em B. Assim tomarei \Delta p=p_{B}-p_{A}=8{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
O que se pede:
a) a vazão volumétrica Q do escoamento;
b) a vazão mássica \dot{m};
c) o volume que passa pela tubulação em 24 horas.

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível em regime estacionário: a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção, logo
Q = v_{A} A_{A} = v_{B} A_{B},
onde v_{A} e v_{B} são as velocidades médias nas seções A e B. Desta equação obtemos a relação entre as velocidades:
v_{B} = \frac{A_{A}}{A_{B}}\,v_{A}.
Vou chamar a razão k=\dfrac{A_{A}}{A_{B}}. Calculando:
k=\frac{5{,}0\times10^{-3}}{1{,}20\times10^{-2}}=\frac{5}{12}\approx0{,}4166667.
Portanto v_{B}=k\,v_{A}.

Passo 3

Energia entre duas seções de um fluido incompressível, sem atrito e em regime estacionário (forma de Bernoulli aplicada entre A e B, como o tubo é horizontal as alturas cancelam):
p_{B}+\tfrac{1}{2}\rho v_{B}^{2}=p_{A}+\tfrac{1}{2}\rho v_{A}^{2}.
Subtraindo p_{A} dos dois lados e reordenando com \Delta p=p_{B}-p_{A}:
\Delta p=\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{A}^{2}-v_{B}^{2}\bigr).
Agora substituímos v_{B}=k\,v_{A} para eliminar v_{B}.

Passo 4

Substituindo v_{B}=k v_{A} em \Delta p=\tfrac{1}{2}\rho(v_{A}^{2}-v_{B}^{2}) dá:
\Delta p=\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{A}^{2}-(k v_{A})^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\rho v_{A}^{2}\bigl(1-k^{2}\bigr).
Isolando v_{A}^{2}:
v_{A}^{2}=\frac{2\Delta p}{\rho(1-k^{2})}.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule 1-k^{2}. Como k=\tfrac{5}{12},
k^{2}=\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}, \qquad 1-k^{2}=1-\frac{25}{144}=\frac{119}{144}.
Substituindo em v_{A}^{2}:
v_{A}^{2}=\frac{2\cdot 8{,}6\times10^{3}}{1200\cdot(119/144)} =\frac{17200}{1200\cdot119/144}.
Simplificando (multiplicando numerador e denominador convenientemente) obtemos a forma exata
v_{A}^{2}=\frac{2064}{119}\approx17{,}3529\\ \mathrm{(m/s)}^{2}.
Tirando a raiz quadrada:
v_{A}=\sqrt{\frac{2064}{119}}\approx4{,}17\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondei v_{A} para três algarismos significativos: 4{,}17\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 5

Calcular a vazão volumétrica Q usando Q=v_{A}A_{A}. Com v_{A}\approx4{,}17\\ \mathrm{m/s} e A_{A}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{2}:
Q=v_{A}A_{A}\approx4{,}17\times5{,}0\times10^{-3}=2{,}08\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Expliquei: multiplica-se velocidade pela área para obter volume por tempo (m³/s).

Passo 6

Vazão mássica \dot{m} é dada por
\dot{m}=\rho Q.
Substituindo \rho=1200\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} e Q=2{,}08\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}:
\dot{m}=1200\times2{,}08\times10^{-2}\approx25{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.

Passo 7

Volume que escoa em 24 horas: convertemos 24 horas para segundos,
t=24\\ \mathrm{h}=24\times3600\\ \mathrm{s}=86400\\ \mathrm{s}.
O volume total V é
V=Q\,t=(2{,}08\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s})\times86400\\ \mathrm{s}\approx1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{m}^{3}.
(Interpretação: mantém-se a mesma vazão durante 24 h, multiplica-se por tempo para obter volume.)

Resposta

a) Q=2{,}08\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}
b) \dot{m}=25{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}
c) V_{24\mathrm{h}}=1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{m}^{3}

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