Considere uma tubulação na qual o fluido, água doce, escoa em regime estacionário. Numa determinada região, nível I, do tubo a velocidade da água é 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o diâmetro interno da tubulação é 4,0 \mathrm{~cm}. A água desce gradualmente pela tubulação, sendo que, em outra região, nível II, 14 m abaixo da região I há uma redução no diâmetro para 2,5 \mathrm{~cm}. ( 5,0 pontos)
a) Qual é a velocidade do fluido no nível mais baixo (nível II)?
b) Se a pressão no nível I é 1,2 \mathrm{~atm}, qual é a pressão no nivel II?

Passo 1

Dados fornecidos:
v_{\mathrm{I}}=5{,}0\\ \mathrm{m/s}
d_{\mathrm{I}}=4{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}040\\ \mathrm{m}
d_{\mathrm{II}}=2{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}025\\ \mathrm{m}
\Delta z = z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{II}}=14\\ \mathrm{m}
p_{\mathrm{I}}=1{,}2\\ \mathrm{atm}
Perguntas a responder:
a) Qual é a velocidade \,v_{\mathrm{II}}\, no nível II?
b) Qual é a pressão \,p_{\mathrm{II}}\, no nível II?

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade): para escoamento incompressível e regime estacionário a vazão volumétrica é constante entre os níveis I e II. A fórmula é
A_{\mathrm{I}}\,v_{\mathrm{I}}=A_{\mathrm{II}}\,v_{\mathrm{II}}
onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade média. Aqui A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. Vou explicar: a vazão volumétrica Q é área vezes velocidade média, Q=A v. Se o fluido não acumula nem some, Q é igual em toda a tubulação, logo a igualdade acima.

Passo 3

Aplicando a continuidade para obter \,v_{\mathrm{II}}\,:
v_{\mathrm{II}} = v_{\mathrm{I}}\frac{A_{\mathrm{I}}}{A_{\mathrm{II}}} = v_{\mathrm{I}}\frac{\pi d_{\mathrm{I}}^{2}/4}{\pi d_{\mathrm{II}}^{2}/4} = v_{\mathrm{I}}\frac{d_{\mathrm{I}}^{2}}{d_{\mathrm{II}}^{2}}.
Agora substituo os valores (sempre em metros):
v_{\mathrm{II}} = 5{,}0\cdot\frac{(0{,}040)^{2}}{(0{,}025)^{2}}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo numérico de \,v_{\mathrm{II}}\,:
(0{,}040)^{2}=0{,}0016,\qquad (0{,}025)^{2}=0{,}000625,
\frac{0{,}0016}{0{,}000625}=2{,}56,
v_{\mathrm{II}}=5{,}0\cdot 2{,}56 = 12{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: reduzir o diâmetro acelera o fluido — faz sentido físico.

Passo 5

Para a pressão usamos a equação de Bernoulli entre os pontos I e II (assumindo escoamento ideal sem perdas por atrito):
p_{\mathrm{I}}+\tfrac{1}{2}\rho v_{\mathrm{I}}^{2}+\rho g z_{\mathrm{I}} = p_{\mathrm{II}}+\tfrac{1}{2}\rho v_{\mathrm{II}}^{2}+\rho g z_{\mathrm{II}}.
Aqui:
  • p é pressão (Pa),
  • \rho é a massa específica do fluido (para água doce \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}),
  • v é velocidade (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • z é a cota vertical (m).
Isolando p_{\mathrm{II}}:
p_{\mathrm{II}} = p_{\mathrm{I}} + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\mathrm{I}}^{2}-v_{\mathrm{II}}^{2}\bigr) + \rho g\bigl(z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{II}}\bigr).
Observação sobre sinais: como o ponto II está 14\\ \mathrm{m} abaixo, z_{\mathrm{I}}-z_{\mathrm{II}}=+14\\ \mathrm{m}, o que tende a aumentar a pressão no ponto mais baixo; por outro lado, se a velocidade aumenta (como aqui), o termo \tfrac{1}{2}\rho v^{2} maior em II reduz a pressão estática em II.

Passo 6

Valores numéricos e conversões:
p_{\mathrm{I}}=1{,}2\\ \mathrm{atm}=1{,}2\cdot 1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}=1{,}2156\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, já temos v_{\mathrm{I}}=5{,}0\\ \mathrm{m/s} e v_{\mathrm{II}}=12{,}8\\ \mathrm{m/s}. Calculo dos termos:
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{\mathrm{I}}^{2}-v_{\mathrm{II}}^{2}\bigr) =\tfrac{1}{2}\cdot 1000\bigl(5{,}0^{2}-12{,}8^{2}\bigr)
=500\bigl(25 - 163{,}84\bigr)=500\cdot(-138{,}84)=-69\,420\\ \mathrm{Pa}.
\rho g\Delta z =1000\cdot 9{,}81\cdot 14 =137\,340\\ \mathrm{Pa}.
Agora somo tudo:
p_{\mathrm{II}}=121\,560 -69\,420 +137\,340\\ \mathrm{Pa}.
(Observação: usei 121\,560\\ \mathrm{Pa} como aproximação de 1{,}2156\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 7

Resultado numérico final para p_{\mathrm{II}}:
p_{\mathrm{II}}=189\,480\\ \mathrm{Pa}.
Se quiser em atmosferas:
p_{\mathrm{II}}=\frac{189\,480}{1{,}013\times 10^{5}}\\ \mathrm{atm}\approx 1{,}87\\ \mathrm{atm}.

Resposta

\text{(a)}\\ v_{\mathrm{II}}=12{,}8\\ \mathrm{m/s}
\text{(b)}\\ p_{\mathrm{II}}=1{,}8948\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\approx 1{,}87\\ \mathrm{atm}

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