Um líquido escoa por um cano com taxa de escoamento instantâneo (em litros por segundo) a uma distância x (em metros) do começo do cano dada pela função
f(x):=14 x^3+3 x^2+x+1, 0 <= x <= 10
Obtenha um ponto x in(0,10) no cano em que a taxa de escoamento instantâneo coincide com a taxa de escoamento média.

Passo 1

O enunciado dá a taxa instantânea de escoamento
f(x)=14x^3+3x^2+x+1, 0<= x<=10
e pede um ponto cin(0,10) em que a taxa instantânea f(c) seja igual à taxa média de escoamento, que é dada por
bar f=110-0integral0^10f(x),dx
O conteúdo é o Teorema do Valor Médio para integrais e a resolução exige (1) calcular a taxa média e (2) resolver f(c)=bar f.

Passo 2

Definimos a taxa média
bar f=110integral0^1014x^3+3x^2+x+1,dx
Como não há primitiva elementar simples, vamos obter numericamente a integral integral0^10f(x),dx.

Passo 3

Usando a Regra de Simpson com n=10 subintervalos de comprimento h=1, calculamos f(k) em k=0,1,dots,10 e aplicamos
integral0^10f(x),dxapprox h3l[f(0)+f(10)+4sumi ímparf(i)+2sumi par,,ine0,10f(i)r] í
Fazendo as contas, obtém-se aproximadamente
integral0^10f(x),dxapprox0,51206

Passo 4

Logo a taxa média é
bar f=110times0,51206=0,051206

Passo 5

Precisamos achar c tal que
f(c)=14c^3+3c^2+c+1=bar f=0,051206
Isto equivale a resolver
4c^3+3c^2+c+1=10,051206approx19,517
Como f é contínua e estritamente decrescente, há uma única solução em (0,10). Pelo método da bissecção (ou Newton) em [1,2] encontramos
capprox1,41

Resposta

Um ponto que satisfaz f(c)=bar f é aproximadamente
capprox1,41 metros

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