Seja
e considere a função
onde
são números reais. Mostre, sem calcular a integral explicitamente, que existe um ponto
tal que
Passo 1
O enunciado define a função
e o valor médio
para
. Pede-se para mostrar que existe
tal que
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Rolle aplicado a uma primitiva de
, o que equivale ao Teorema do Valor Médio para integrais.
Passo 2
Primeiro, note que
é contínua em
pois é quociente de funções polinomiais com denominador nunca zero. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a função
é derivável em
e satisfaz
.
Passo 3
Definimos
Considere a função auxiliar
Então
Passo 4
Como
é contínua em
e diferenciável em
e
, pelo Teorema de Rolle existe
tal que
Calculando a derivada,
logo em
temos
Resposta
Existe
tal que