Seja
e considere a função
onde são números reais. Mostre, sem calcular a integral explicitamente, que existe um ponto tal que

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = xx^2+1, xinR,
e o valor médio
A(a,b) = 1b-aintegrala^b f(t),dt
para a<b. Pede-se para mostrar que existe cin(0,2) tal que
A(0,2)=cc^2+1
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Rolle aplicado a uma primitiva de f, o que equivale ao Teorema do Valor Médio para integrais.

Passo 2

Primeiro, note que f é contínua em [0,2] pois é quociente de funções polinomiais com denominador nunca zero. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a função
F(x) = integral0^x f(t),dt
é derivável em [0,2] e satisfaz F'(x)=f(x).

Passo 3

Definimos
alpha = A(0,2) = 12-0integral0^2 f(t),dt = F(2)-F(0)2
Considere a função auxiliar
G(x) = F(x) - alpha,x
Então
G(0) = F(0) - alphacdot0 = 0, G(2) = F(2) - alphacdot2 = F(2) - (F(2)-F(0)) = 0

Passo 4

Como G é contínua em [0,2] e diferenciável em (0,2) e G(0)=G(2), pelo Teorema de Rolle existe cin(0,2) tal que
G'(c) = 0
Calculando a derivada,
G'(x) = F'(x) - alpha = f(x) - alpha,
logo em x=c temos
0 = G'(c) = f(c) - alpha Longrightarrow alpha = f(c) = cc^2+1

Resposta

Existe cin(0,2) tal que
A(0,2)=cc^2+1

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