Seja a função definida por
Calcule e e mostre que

Passo 1

O enunciado define
H(x) ;=;integral1^x11+t^2,dt
e pede (i) H(1), (ii) H'(1) e (iii) mostrar que
H(4)-H(2)<25
Aqui vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar e avaliar integrais, e um truque de estimativa comparando integrais.

Passo 2

Para H(1) basta notar que o limite superior e o inferior da integral coincidem. Logo, por propriedades de integrais,
H(1)=integral1^111+t^2,dt=0

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, H é diferenciável e
H'(x)=ddxintegral1^x11+t^2,dt =11+x^2
Em particular, em x=1 temos
H'(1)=11+1^2=12

Passo 4

Escrevemos a diferença pedida como integral:
H(4)-H(2) =integral1^411+t^2,dt -integral1^211+t^2,dt =integral2^411+t^2,dt
Note que, para todo t>=2,
11+t^2<1t^2

Passo 5

Aplicando essa desigualdade dentro da integral,
H(4)-H(2) <integral2^41t^2,dt =l[-tfrac1tr]2^4 =-14+12 =14
E como tfrac14=0,25<0,4=tfrac25, concluímos
H(4)-H(2)<25

Resposta

H(1)=0, H'(1)=tfrac12 e H(4)-H(2)<tfrac25.

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