Seja
a função definida por
Calcule
e
e mostre que
Passo 1
O enunciado define
e pede (i)
, (ii)
e (iii) mostrar que
Aqui vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar e avaliar integrais, e um truque de estimativa comparando integrais.
Passo 2
Para
basta notar que o limite superior e o inferior da integral coincidem. Logo, por propriedades de integrais,
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
é diferenciável e
Em particular, em
temos
Passo 4
Escrevemos a diferença pedida como integral:
Note que, para todo
,
Passo 5
Aplicando essa desigualdade dentro da integral,
E como
, concluímos