Um pequeno crustáceo de água doce mede, aproximadamente, 1 mm de diâmetro. Deseja-se conhecer a força de arraste sobre o crustáceo, quando se movimenta em água doce a uma velocidade de 2,53 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. U m modelo a escala 100 vezes maior é testado em glicerina ( \rho_{\text {glic }}=1263 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu_{\text {glic }}=1,5 \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s}) ). No modelo foi medida uma força de arraste de 1,3 \mathrm{~N}. Para condições similares, qual será a força de arraste que o escoamento de água doce produz sobre o crustáceo?
Utilize: \quad \mathrm{F} /\left(\rho \mathrm{V}^{2} \mathrm{D}^{2}\right)=\mathrm{f}(\mathrm{Re}) ; \quad \mathrm{Re}=\rho \mathrm{VD} / \mu.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força de arraste que a água doce produz sobre o crustáceo em condições semelhantes às do ensaio em escala.
Dados fornecidos (converto tudo para unidades SI):
  • Diâmetro do crustáceo (protótipo): D_p = 1\\ \mathrm{mm} = 0,001\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade do crustáceo na água: V_p = 2{,}53\\ \mathrm{cm/s} = 0,0253\\ \mathrm{m/s}.
  • Modelo tem escala linear 100 vezes maior: escala S = 100. Logo o diâmetro do modelo D_m = S D_p.
  • Fluido do ensaio no modelo: glicerina com \rho_{\text{glic}} = 1263\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu_{\text{glic}} = 1{,}5\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • Força de arraste medida no modelo: F_m = 1{,}3\\ \mathrm{N}.
  • Relações adimensionais fornecidas: \frac{F}{\rho V^{2} D^{2}} = f(\mathrm{Re}),\qquad \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}.
Observação necessária (não fornecida no enunciado): tomo propriedades típicas da água doce à temperatura ambiente:
  • \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}á.
  • \mu_{\text{água}} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}á.
O que se quer: calcular a força de arraste F_p que a água exerce sobre o crustáceo quando ele se move com V_p, sob condições dinâmicamente semelhantes ao ensaio do modelo.

Passo 2

Princípio físico e estratégia (aula curta e direta):
  • A razão \dfrac{F}{\rho V^{2} D^{2}} é um coeficiente adimensional de arraste que depende apenas do número de Reynolds \mathrm{Re}: \dfrac{F}{\rho V^{2} D^{2}}=f(\mathrm{Re}).
  • Para que o comportamento do modelo represente o protótipo, deve-se garantir similaridade dinâmica: o mesmo \mathrm{Re} em modelo e protótipo. Assim f(\mathrm{Re}) é o mesmo para ambos e \frac{F_p}{\rho_p V_p^{2} D_p^{2}}=\frac{F_m}{\rho_m V_m^{2} D_m^{2}}.
  • Dessa igualdade isolamos F_p: F_p = F_m \; \frac{\rho_p V_p^{2} D_p^{2}}{\rho_m V_m^{2} D_m^{2}}.
  • Portanto precisamos conhecer V_m usado no ensaio. Pelo enunciado só se dá F_m, mas sabemos que o ensaio foi feito para “condições similares”, o que implica que o ensaio foi ajustado para o mesmo \mathrm{Re}. Logo determinamos V_m exigindo \mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p.
Explicando o número de Reynolds (mini-aula):
  • \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V D}{\mu} mede a razão entre inércia e viscosidade no escoamento. Para o mesmo \mathrm{Re} o campo de velocidades (quando geometricamente similar) tem padrões semelhantes, e assim o coeficiente de arraste f(\mathrm{Re}) é o mesmo. Por isso igualamos \mathrm{Re} de modelo e protótipo.

Passo 3

Calcular \mathrm{Re} do protótipo e o diâmetro do modelo:
  • Diâmetro do modelo: D_m = S D_p = 100\cdot 0,001 = 0,1\\ \mathrm{m}.
  • Reynolds do protótipo (água): \mathrm{Re}_p = \frac{\rho_{\text{água}}\,V_p\,D_p}{\mu_{\text{água}}} = \frac{1000\cdot 0{,}0253\cdot 0{,}001}{1{,}0\times10^{-3}}.ááCalculemos passo a passo: 1000\cdot 0{,}0253\cdot 0{,}001 = 0{,}0253,
\mathrm{Re}_p = \frac{0{,}0253}{1{,}0\times10^{-3}} = 25{,}3.
  • Para similaridade: \mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p=25{,}3. Assim o V_m necessário no ensaio com glicerina é V_m = \frac{\mathrm{Re}_p\,\mu_{\text{glic}}}{\rho_{\text{glic}}\,D_m}.Substituindo: V_m = \frac{25{,}3\cdot 1{,}5}{1263\cdot 0{,}1}.Calcule: 25{,}3\cdot 1{,}5 = 37{,}95, \qquad 1263\cdot 0{,}1 = 126{,}3,
V_m = \frac{37{,}95}{126{,}3}\approx 0{,}3006\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Aplicar a relação de similaridade para obter F_p.
Escrevendo de novo a igualdade adimensional e isolando F_p:
F_p = F_m \; \frac{\rho_p V_p^{2} D_p^{2}}{\rho_m V_m^{2} D_m^{2}}.
Agora calculamos cada termo numericamente (com cuidado nas potências):
  • Primeiro o numerador adimensional: \rho_p V_p^{2} D_p^{2} = 1000\cdot (0{,}0253)^{2}\cdot (0{,}001)^{2}.Calcule: (0{,}0253)^{2}=0{,}00064009, \qquad (0{,}001)^{2}=1\times10^{-6},
\rho_p V_p^{2} D_p^{2} = 1000\cdot 0{,}00064009\cdot 10^{-6} = 6{,}4009\times10^{-7}.
  • Agora o denominador: \rho_m V_m^{2} D_m^{2} = 1263\cdot (0{,}3006)^{2}\cdot (0{,}1)^{2}.Calcule: (0{,}3006)^{2}\approx 0{,}09036, \qquad (0{,}1)^{2}=0{,}01,
\rho_m V_m^{2} D_m^{2} \approx 1263\cdot 0{,}09036\cdot 0{,}01 = 1{,}1412468\\ (\text{aprox.}).
  • Razão: \frac{\rho_p V_p^{2} D_p^{2}}{\rho_m V_m^{2} D_m^{2}} \approx \frac{6{,}4009\times10^{-7}}{1{,}1412468} \approx 5{,}61\times10^{-7}.
  • Finalmente: F_p = 1{,}3\\ \mathrm{N}\times 5{,}61\times10^{-7} \approx 7{,}29\times10^{-7}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida:
  • O valor obtido \sim 7\times10^{-7}\\ \mathrm{N} é muito pequeno, o que faz sentido porque o crustáceo é muito pequeno (diâmetro 10^{-3}\\ \mathrm{m}) e a velocidade é baixa; forças viscosas dominam e a escala reduz drasticamente a força.
  • Resumo do raciocínio: igualamos \mathrm{Re} para garantir que o coeficiente adimensional de arraste seja o mesmo no modelo e no protótipo, calculamos a velocidade do modelo que produz esse \mathrm{Re} na glicerina e, usando a igualdade de \dfrac{F}{\rho V^{2} D^{2}}, escalamos a força medida para o protótipo.

Resposta

7{,}29\times10^{-7}\\ \mathrm{N}

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