Um pequeno crustáceo de água doce mede, aproximadamente, 1 mm de diâmetro. Deseja-se conhecer a força de arraste sobre o crustáceo, quando se movimenta em água doce a uma velocidade de
.
modelo a escala 100 vezes maior é testado em glicerina (
). No modelo foi medida uma força de arraste de
. Para condições similares, qual será a força de arraste que o escoamento de água doce produz sobre o crustáceo?
Utilize:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a força de arraste que a água doce produz sobre o crustáceo em condições semelhantes às do ensaio em escala.
Dados fornecidos (converto tudo para unidades SI):
- Diâmetro do crustáceo (protótipo):
. - Velocidade do crustáceo na água:
. - Modelo tem escala linear 100 vezes maior: escala
. Logo o diâmetro do modelo . - Fluido do ensaio no modelo: glicerina com
e . - Força de arraste medida no modelo:
. - Relações adimensionais fornecidas:
Observação necessária (não fornecida no enunciado): tomo propriedades típicas da água doce à temperatura ambiente:
-
. -
.
O que se quer: calcular a força de arraste
que a água exerce sobre o crustáceo quando ele se move com
, sob condições dinâmicamente semelhantes ao ensaio do modelo.
Passo 2
Princípio físico e estratégia (aula curta e direta):
- A razão
é um coeficiente adimensional de arraste que depende apenas do número de Reynolds : . - Para que o comportamento do modelo represente o protótipo, deve-se garantir similaridade dinâmica: o mesmo
em modelo e protótipo. Assim é o mesmo para ambos e - Dessa igualdade isolamos
: - Portanto precisamos conhecer
usado no ensaio. Pelo enunciado só se dá , mas sabemos que o ensaio foi feito para “condições similares”, o que implica que o ensaio foi ajustado para o mesmo . Logo determinamos exigindo .
Explicando o número de Reynolds (mini-aula):
-
mede a razão entre inércia e viscosidade no escoamento. Para o mesmo o campo de velocidades (quando geometricamente similar) tem padrões semelhantes, e assim o coeficiente de arraste é o mesmo. Por isso igualamos de modelo e protótipo.
Passo 3
Calcular
do protótipo e o diâmetro do modelo:
- Diâmetro do modelo:
- Reynolds do protótipo (água):
Calculemos passo a passo:
- Para similaridade:
. Assim o necessário no ensaio com glicerina é Substituindo: Calcule:
Passo 4
Aplicar a relação de similaridade para obter
.
Escrevendo de novo a igualdade adimensional e isolando
:
Agora calculamos cada termo numericamente (com cuidado nas potências):
- Primeiro o numerador adimensional:
Calcule:
- Agora o denominador:
Calcule:
- Razão:
- Finalmente:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida:
- O valor obtido
é muito pequeno, o que faz sentido porque o crustáceo é muito pequeno (diâmetro ) e a velocidade é baixa; forças viscosas dominam e a escala reduz drasticamente a força. - Resumo do raciocínio: igualamos
para garantir que o coeficiente adimensional de arraste seja o mesmo no modelo e no protótipo, calculamos a velocidade do modelo que produz esse na glicerina e, usando a igualdade de , escalamos a força medida para o protótipo.