Torricelli propôs a equação: V^{2}=V_{o}^{2}+2 . a . d - para calcular a velocidade final de um corpo, sem se conhecer o intervalo de tempo do movimento, onde V é a velocidade do corpo na posição d, V_{o} é a velocidade inicial, quando d=0, e a é a aceleração. Supondo que as unidades das dimensões da equação de Torricelli sejam as do Sistema Internacional (SI), obtenha uma equação para o cálculo de V em \mathrm{m} / \mathrm{s}, em que V_{o} encontra-se em \mathrm{ft} / \mathrm{min}, a em \mathrm{in} / \mathrm{s}^{2} e d em km .

Passo 1

O enunciado dá a equação de Torricelli e pede uma fórmula para calcular a velocidade final \,V em \mathrm{m/s}, quando as grandezas têm as seguintes unidades:
  • equação: \,V^{2}=V_{0}^{2}+2\;a\;d.
  • V_{0} está em \mathrm{ft/min} (pés por minuto).
  • a está em \mathrm{in/s^{2}} (polegadas por segundo ao quadrado).
  • d está em \mathrm{km} (quilômetros).
O objetivo é expressar \,V em \mathrm{m/s} em função de V_{0} (em \mathrm{ft/min}), a (em \mathrm{in/s^{2}}) e d (em \mathrm{km}).

Passo 2

Vamos converter cada uma das grandezas para o SI (metros e segundos). Aqui estão os fatores de conversão que vamos usar (valores exatos conhecidos):
  • 1\\ \mathrm{ft} = 0,3048\\ \mathrm{m}.
  • 1\\ \mathrm{min} = 60\\ \mathrm{s}.
    Logo, para passar de \mathrm{ft/min} para \mathrm{m/s} multiplica-se por
\frac{0,3048}{60}=0,00508.
Assim:
V_{0\,(\mathrm{m/s})}=V_{0\,(\mathrm{ft/min})}\cdot 0,00508.
Explicação rápida e didática: velocidade em \mathrm{ft/min} significa “pés por minuto”. Para ficar em \mathrm{m/s} primeiro converte-se pés para metros (multiplica por 0,3048) e depois minutos para segundos (divide por 60). O resultado combinado é a multiplicação por 0,3048/60.

Passo 3

Agora converter a e d para SI:
  • 1\\ \mathrm{in} = 0,0254\\ \mathrm{m}. Assim,
a_{(\mathrm{m/s^{2}})}=a_{(\mathrm{in/s^{2}})}\cdot 0,0254.
  • 1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m}. Assim,
d_{(\mathrm{m})}=d_{(\mathrm{km})}\cdot 1000.
Comentário didático: a aceleração em \mathrm{in/s^{2}} tem como dimensão \mathrm{length}/\mathrm{time}^{2}, então basta multiplicar a unidade de comprimento para obter metros por segundo ao quadrado. O deslocamento em \mathrm{km} é comprimento — multiplica por 1000 para obter metros.

Passo 4

Substituímos as conversões na equação de Torricelli. Começando por escrever V^{2} em SI:
V^{2}=\bigl(V_{0\,(\mathrm{m/s})}\bigr)^{2}+2\,a_{(\mathrm{m/s^{2}})}\,d_{(\mathrm{m})}.
Agora substituir as expressões obtidas:
V^{2}=\bigl(V_{0\,(\mathrm{ft/min})}\cdot 0,00508\bigr)^{2} +2\cdot\bigl(a_{(\mathrm{in/s^{2}})}\cdot 0,0254\bigr)\cdot\bigl(d_{(\mathrm{km})}\cdot 1000\bigr).
Vamos simplificar os fatores numéricos:
  • (0,00508)^{2}=2,58064\times10^{-5}.
  • 2\cdot 0,0254\cdot 1000=50,8.
Portanto:
V^{2}=2,58064\times10^{-5}\,\bigl(V_{0\,(\mathrm{ft/min})}\bigr)^{2} +50,8\;a_{(\mathrm{in/s^{2}})}\;d_{(\mathrm{km})}.
Verificação dimensional rápida: o primeiro termo tem unidades (\mathrm{m/s})^{2} porque convertemos V_{0} para \mathrm{m/s} antes de elevar ao quadrado; o segundo termo tem unidades \mathrm{m/s^{2}}\times\mathrm{m}=\mathrm{m^{2}/s^{2}}. Ambos somam corretamente para V^{2}.

Passo 5

Isolando V (tomando raiz quadrada) obtemos a fórmula final para V em \mathrm{m/s}:
V=\sqrt{\,2,58064\times10^{-5}\,\bigl(V_{0\,(\mathrm{ft/min})}\bigr)^{2} +50,8\;a_{(\mathrm{in/s^{2}})}\;d_{(\mathrm{km})}\, }.
Exemplo prático (para fixar): suponha V_{0}=100\\ \mathrm{ft/min}, a=10\\ \mathrm{in/s^{2}}, d=0,1\\ \mathrm{km}.
Calculemos rapidamente:
\text{termo }V_{0}^{2}=2,58064\times10^{-5}\cdot(100)^{2}=0,258064,
\text{termo }2ad=50,8\cdot10\cdot0,1=50,8,
V=\sqrt{0,258064+50,8}=\sqrt{51,058064}\approx7,146\\ \mathrm{m/s}.
Dica de prova: sempre converta as unidades antes de somar os termos que aparecem na equação; mantenha os fatores de conversão escritos para evitar erro de fator 1000 ou 60.

Resposta

V=\sqrt{\,2,58064\times10^{-5}\,\bigl(V_{0\,(\mathrm{ft/min})}\bigr)^{2} +50,8\;a_{(\mathrm{in/s^{2}})}\;d_{(\mathrm{km})}\, }.

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