Um óleo pesado a 20^{\circ} \mathrm{C} com densidade de 900 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade de 6 cp flui através de um tubo de aço Schedule 40 de 4 polegadas.Quando a vazão é de 0,0174 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, deseja-se uma leitura de queda de pressão de 0,93 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} no manômetro. Qual o tamanho do orifício que deve ser usado se o coeficiente de orifício for considerado 0,61 ? Qual é a perda de pressão em regime permanente?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados: \rho = 900\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu = 6\\ \mathrm{cP}=0,006\\ \mathrm{Pa\cdot s},
Q = 0,0174\\ \mathrm{m^{3}/s},\qquad \Delta p_{\text{manômetro desejada}} = 0,93\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},ô
orifício com coeficiente de escoamento (coeficiente de descarga) C = 0,61,
tubo aço Schedule 40 de 4 polegadas (usar o diâmetro interno padrão desse tubo).
  • Perguntas:
    1. Qual o tamanho do orifício que deve ser usado (ou seja, qual o diâmetro do orifício d) para que, à vazão dada, o manômetro indique \Delta p = 0,93\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, considerando C=0{,}61?
    2. Qual é a perda de pressão em regime permanente?
Observação: vou usar o diâmetro interno padrão de um tubo NPS 4" Schedule 40. Esse valor de tabela é D = 0,1023\\ \mathrm{m} (aproximadamente 4{,}026 in). Se você usasse outra tabela o resultado mudaria, mas esta é a escolha usual.

Passo 2

Relembre a fórmula prática do medidor de orifício (fórmula de descarga). Para um orifício centrado em uma tubulação, a vazão real Q é dada por
Q = C\,A_{o}\,\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho\left(1-\beta^{4}\right)}},
onde
  • C é o coeficiente de descarga ( C=0{,}61 dado),
  • A_{o} é a área do orifício, A_{o}=\dfrac{\pi d^{2}}{4},
  • \Delta p é a diferença de pressão medida entre os pontos de pressão (a leitura do manômetro),
  • \rho é a densidade do fluido,
  • \beta é a razão entre o diâmetro do orifício e o diâmetro interno do tubo, isto é \beta=\dfrac{d}{D}.
Essa fórmula vem da combinação da equação de Bernoulli (entre pontos ligados ao orifício) com conservação de massa e definição do coeficiente de descarga. Ela mostra que Q depende de d de forma não-linear (aparece d^{2} em A_o e \beta^{4} dentro da raiz).

Passo 3

Aplicar a fórmula com os dados numéricos. Primeiro calculemos a área da tubulação e constantes auxiliares.
Área da tubulação (usando D=0{,}1023\\ \mathrm{m}):
A = \frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}1023)^{2}}{4}.
Calcule numericamente:
D^{2}=0{,}1023^{2}=0{,}010468\ldots
A=\frac{\pi}{4}\cdot 0{,}010468\approx 0{,}008223\\ \mathrm{m^{2}}.
Também definimos a constante
K = C\frac{\pi D^{2}}{4}=C\cdot A.
Substituindo C=0{,}61 e A obtemos
K = 0{,}61\times 0{,}008223\approx 0{,}005016\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule o termo \dfrac{2\Delta p}{\rho}:
\frac{2\Delta p}{\rho}=\frac{2\times 0{,}93\times 10^{5}}{900}=\frac{186000}{900}=206{,}666\ldots
A equação do orifício pode ser escrita em termos de \beta como
Q = K\,\beta^{2}\,\sqrt{\frac{206{,}666\ldots}{1-\beta^{4}}}.

Passo 4

Resolver algebricamente para \beta. Para simplificar, divida ambos os lados por K e eleve ao quadrado:
\left(\frac{Q}{K}\right)^{2} = \beta^{4}\cdot\frac{206{,}666\ldots}{1-\beta^{4}}.
Defina X=\beta^{4}. Então
\left(\frac{Q}{K}\right)^{2} = \frac{206{,}666\ldots\,X}{1-X}.
Resolva para X:
\left(\frac{Q}{K}\right)^{2}(1-X)=206{,}666\ldots X
\left(\frac{Q}{K}\right)^{2} = X\left[\left(\frac{Q}{K}\right)^{2}+206{,}666\ldots\right]
X=\frac{\left(\dfrac{Q}{K}\right)^{2}}{\left(\dfrac{Q}{K}\right)^{2}+206{,}666\ldots}.
Agora substituímos números: Q=0{,}0174\\ \mathrm{m^{3}/s} e K\approx 0{,}005016\\ \mathrm{m^{2}}.
\frac{Q}{K}=\frac{0{,}0174}{0{,}005016}\approx 3{,}46895,
\left(\frac{Q}{K}\right)^{2}\approx 3{,}46895^{2}\approx 12{,}0411.
Portanto
X=\frac{12{,}0411}{12{,}0411+206{,}6667}=\frac{12{,}0411}{218{,}7078}\approx 0{,}055056.
Logo
\beta^{4}=0{,}055056\quad\Rightarrow\quad \beta=(0{,}055056)^{1/4}.
Calcule a raiz quarta: primeiro a raiz quadrada de 0{,}055056 é aproximadamente 0{,}23465; a raiz quadrada novamente dá
\beta\approx 0{,}48445.

Passo 5

Agora obtenha o diâmetro do orifício d:
d=\beta D=0{,}48445\times 0{,}1023\\ \mathrm{m}\approx 0{,}04957\\ \mathrm{m}.
Arredondando de maneira prática, temos
d\approx 0{,}0496\\ \mathrm{m}=49{,}6\\ \mathrm{mm}.
Em polegadas isso é aproximadamente 49{,}6\\ \mathrm{mm}\div 25{,}4\approx 1{,}95\\ \mathrm{in}.
(Comentário prático: orifícios comerciais vêm em diâmetros padronizados; escolher o mais próximo comercial e, se necessário, recalibrar.)

Passo 6

Verificação do regime do escoamento (importante para saber se podemos usar fórmulas padrão). Calcule a velocidade no tubo antes do orifício:
Velocidade média no tubo
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0174}{0{,}008223}\approx 2{,}116\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{900\times 2{,}116\times 0{,}1023}{0{,}006}\approx 3{,}25\times10^{4}.
Como \mathrm{Re}\approx 3{,}2\times 10^{4}, o escoamento é claramente turbulento. Isso justifica o uso do coeficiente de descarga empírico C e indica que efeitos viscosos laminares não dominam.

Passo 7

Qual é a perda de pressão em regime permanente? No medidor de orifício padrão, as tomadas de pressão estão em secções onde a área do tubo é a mesma (antes e depois do orifício depois da recuperação do jato), de modo que a diferença de pressão medida p_{1}-p_{2} pelo manômetro corresponde exatamente à perda de pressão permanente provocada pelo orifício entre esses pontos (a energia dissipada irreversivelmente). Assim, a perda de pressão em regime permanente é numericamente a leitura do manômetro já dada.
Portanto:
\Delta p_{\text{permanente}} = 0{,}93\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}=93{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Também é útil expressar em termos de coluna de fluido (head):
h=\frac{\Delta p}{\rho g}=\frac{0{,}93\times10^{5}}{900\times 9{,}81}\approx 10{,}53\\ \mathrm{m}.

Resposta

d\approx 0{,}0496\\ \mathrm{m} (≈ 49{,}6\\ \mathrm{mm}).
\Delta p_{\text{regime permanente}}=0{,}93\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (≈ 10{,}53\\ \mathrm{m} de coluna de óleo).

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