Um líquido viscoso escoa por um tubo horizontal de raio constante. O líquido, de massa específica
e viscosidade dinâmica de
s é submetido a um gradiente de pressão constante, na direção do escoamento. Assumindo que o escoamento é permanente e laminar, responda: tem
pontos) Se a velocidade média do escoamento for de
e o raio do tubo for de
, quanto vale o gradiente de pressão (em
)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um líquido viscoso que está escoando de forma constante e laminar por um tubo horizontal com raio fixo. A massa específica do líquido é
, e a viscosidade dinâmica é
. A velocidade média do escoamento é de
e o raio do tubo é de
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o gradiente de pressão, ou seja, quanto a pressão está mudando ao longo do comprimento do tubo, medido em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em escoamentos laminares e permanentes em tubos, a relação entre a velocidade média do fluido, a viscosidade, o raio do tubo e o gradiente de pressão é dada pela equação de Hagen-Poiseuille. Essa equação nos ajuda a relacionar esses parâmetros de forma bem direta.
Passo 3
A equação de Hagen-Poiseuille para o volume de fluxo (
) é:
Onde:
-
é o volume de fluxo, -
é o raio do tubo, -
é a viscosidade dinâmica, -
é o gradiente de pressão.
Passo 4
Como temos a velocidade média (
) e o volume de fluxo está relacionado com a área da seção transversal (
) pelo
, podemos substituir
na equação:
Passo 5
Simplificando a equação, vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, isolamos o gradiente de pressão (
):
Como estamos interessados apenas no valor absoluto do gradiente, podemos desconsiderar o sinal negativo:
Passo 7
Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, convertemos o raio para metros:
Substituindo na equação:
Passo 8
Calculando o denominador:
Agora, substituindo:
Resposta
O gradiente de pressão é de
.