Um líquido viscoso escoa por um tubo horizontal de raio constante. O líquido, de massa específica rho e viscosidade dinâmica de 0,02 Pa s é submetido a um gradiente de pressão constante, na direção do escoamento. Assumindo que o escoamento é permanente e laminar, responda: tem b, 2,5 pontos) Se a velocidade média do escoamento for de 1 m / s e o raio do tubo for de 2,5 cm, quanto vale o gradiente de pressão (em N / m^3 )?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um líquido viscoso que está escoando de forma constante e laminar por um tubo horizontal com raio fixo. A massa específica do líquido é rho, e a viscosidade dinâmica é 0,02 Pacdots. A velocidade média do escoamento é de 1 m/s e o raio do tubo é de 2,5 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o gradiente de pressão, ou seja, quanto a pressão está mudando ao longo do comprimento do tubo, medido em N/m^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em escoamentos laminares e permanentes em tubos, a relação entre a velocidade média do fluido, a viscosidade, o raio do tubo e o gradiente de pressão é dada pela equação de Hagen-Poiseuille. Essa equação nos ajuda a relacionar esses parâmetros de forma bem direta.

Passo 3

A equação de Hagen-Poiseuille para o volume de fluxo ( Q) é:
Q = pi r^48 mu cdot (-dpdx)
Onde:
  • Q é o volume de fluxo,
  • r é o raio do tubo,
  • mu é a viscosidade dinâmica,
  • dpdx é o gradiente de pressão.

Passo 4

Como temos a velocidade média ( v) e o volume de fluxo está relacionado com a área da seção transversal ( A) pelo Q = v cdot A, podemos substituir Q na equação:
v cdot pi r^2 = pi r^48 mu cdot (-dpdx)

Passo 5

Simplificando a equação, vamos dividir ambos os lados por pi r^2:
v = r^28 mu cdot (-dpdx)

Passo 6

Agora, isolamos o gradiente de pressão ( dpdx):
dpdx = -8 mu vr^2
Como estamos interessados apenas no valor absoluto do gradiente, podemos desconsiderar o sinal negativo:
dpdx = 8 mu vr^2

Passo 7

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, convertemos o raio para metros:
r = 2,5 cm = 0,025 m
Substituindo na equação:
dpdx = 8 times 0,02 Pacdots times 1 m/s(0,025 m)^2

Passo 8

Calculando o denominador:
(0,025)^2 = 0,000625 m^2
Agora, substituindo:
dpdx = 8 times 0,02 times 10,000625 = 0,160,000625 = 256 N/m^3

Resposta

O gradiente de pressão é de 256 N/m^3.

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