Lista 01- Exercício-10

A rotação da haste O A em torno de O e definida pela relação, onde \theta=\pi\left(\overline{4} t^{2}-8 t\right) : onde \theta e t são expressos em radianos e segundos, respectivamente. O cursor B desliza ao longo da haste de tal modo que sua distância do ponto O e r=25 /(t+4), onde r e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Quando t \_1 \mathrm{~s}, determine a (a) velocidade do cursor, ( b ) a aceleração total do cursor, (c) a aceleração do cursor em relação a haste.

Passo 1

O enunciado nos dá as leis do movimento do cursor B que desliza sobre a haste que gira em torno de O. As informações fornecidas e o que nos pedem são:
  • Lei do ângulo da haste: \displaystyle \theta(t)=\pi\big(\overline{4}\,t^{2}-8t\big). (O enunciado usa o símbolo \overline{4} antes de t^2; deixarei essa parte simbólica para que a resolução seja válida mesmo se esse coeficiente for 4 ou \tfrac{1}{4}. Vou denotar por \kappa o coeficiente que multiplica t^2 dentro do parêntese, ou seja assumo simbolicamente que \displaystyle \theta(t)=\pi\big(\kappa t^{2}-8t\big).)
  • Lei da distância radial do cursor ao ponto O: \displaystyle r(t)=\dfrac{25}{t+4}.
  • Tempo em que devemos avaliar: t=t_{1} (o enunciado indica t_{1}\\ \mathrm{s}; vou deixar os resultados em função de t_{1} para que você possa substituir o valor numérico que o enunciado original fornece).
  • Pedidos:
    (a) a velocidade do cursor em t=t_{1};
    (b) a aceleração total do cursor em t=t_{1};
    (c) a aceleração do cursor em relação à haste em t=t_{1}.
Observações importantes que vou usar: o movimento é convenientemente tratado em coordenadas polares com origem em O, eixo radial ao longo da haste (vetor unitário \mathbf{e}_{r}) e eixo transversal tangencial \mathbf{e}_{\theta} perpendicular ao radial (no sentido crescente de \theta). A resposta ficará em componentes nas direções \mathbf{e}_{r} e \mathbf{e}_{\theta} e em módulo quando fizer sentido.

Passo 2

Relembrando as fórmulas fundamentais em coordenadas polares (aula rápida e intuitiva):
  • Posição: \displaystyle \mathbf{r}=r\,\mathbf{e}_{r}. Aqui r é a distância radial e \mathbf{e}_{r} é o versor radial (apontando ao longo da haste).
  • Velocidade: a velocidade tem uma parte radial (variação de r) e uma parte tangencial (devida à rotação da haste),
\displaystyle \mathbf{v}=\dot r\,\mathbf{e}_{r}+r\dot\theta\,\mathbf{e}_{\theta}.
Explicação curta: \dot r é quanto o ponto se aproxima/afasta de O; r\dot\theta é a rapidez tangencial porque um pequeno ângulo \mathrm{d}\theta desloca o ponto aproximadamente r\,\mathrm{d}\theta na direção \mathbf{e}_{\theta}.
  • Aceleração: tem parte radial e parte tangencial,
\displaystyle \mathbf{a}=(\ddot r-r\dot\theta^{2})\,\mathbf{e}_{r}+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\,\mathbf{e}_{\theta}.
Explicação curta: o termo -r\dot\theta^{2} é a aceleração centrípeta (aponta para o centro), r\ddot\theta é a aceleração angular tangencial (variação da velocidade angular), e 2\dot r\dot\theta é a aceleração de Coriolis (surgindo quando você tem variação radial e rotação simultâneas).
Essas fórmulas são padrão e você deve decorá-las/entendê-las para usar numa prova — eu mostrei o significado físico de cada termo para que não seja só decorar.

Passo 3

Calculemos agora \dot r e \ddot r a partir de \displaystyle r(t)=\dfrac{25}{t+4}.
  • Derivada primeira:
\displaystyle \dot r(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\frac{25}{t+4}\right) =25\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\big((t+4)^{-1}\big) =25\cdot(-1)(t+4)^{-2} =-\frac{25}{(t+4)^{2}}.
Comentário: usei a regra de potência: (t+4)^{-1}’ = -1)(t+4)^{-2}.
  • Derivada segunda:
\displaystyle \ddot r(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(-\frac{25}{(t+4)^{2}}\right) =-25\cdot(-2)(t+4)^{-3} =\frac{50}{(t+4)^{3}}.
Verifique mentalmente: sinal positivo e decresce rápido com t.

Passo 4

Agora derive \dot\theta e \ddot\theta a partir de \displaystyle \theta(t)=\pi\big(\kappa t^{2}-8t\big), onde \kappa é o coeficiente simbólico (no enunciado aparece como \overline{4}; substitua \kappa por 4 ou \tfrac{1}{4} caso você saiba qual era o valor correto).
  • Derivada primeira:
\displaystyle \dot\theta(t)=\pi\big(2\kappa t-8\big).
Explicação: derivada de \kappa t^{2} é 2\kappa t e de -8t é -8.
  • Derivada segunda:
\displaystyle \ddot\theta(t)=\pi(2\kappa).
Constante (para \kappa fixo), ou seja a aceleração angular é constante se \kappa é constante.

Passo 5

Escrevemos agora a velocidade vetorial geral em função de t, usando as fórmulas do Passo 2 e as derivadas que encontramos:
\displaystyle \mathbf{v}(t)=\dot r(t)\,\mathbf{e}_{r}+r(t)\dot\theta(t)\,\mathbf{e}_{\theta} = -\frac{25}{(t+4)^{2}}\,\mathbf{e}_{r} + \frac{25}{t+4}\,\pi\big(2\kappa t-8\big)\,\mathbf{e}_{\theta}.
Se você preferir o módulo (a velocidade escalar, “rapidez”):
\displaystyle v(t)=\sqrt{\big(\dot r(t)\big)^{2}+\big(r(t)\dot\theta(t)\big)^{2}} =\sqrt{\frac{25^{2}}{(t+4)^{4}}+\left(\frac{25}{t+4}\pi(2\kappa t-8)\right)^{2}}.
No momento t=t_{1} (substitua t=t_{1}):
\displaystyle \mathbf{v}(t_{1})=-\frac{25}{(t_{1}+4)^{2}}\,\mathbf{e}_{r} + \frac{25\pi}{t_{1}+4}\big(2\kappa t_{1}-8\big)\,\mathbf{e}_{\theta},
\displaystyle v(t_{1})=\sqrt{\frac{25^{2}}{(t_{1}+4)^{4}}+\left(\frac{25\pi}{t_{1}+4}(2\kappa t_{1}-8)\right)^{2}}.
Dica prática para prova: ao calcular o módulo, fator comum \dfrac{25}{(t_{1}+4)^{2}} pode simplificar a expressão se necessário.

Passo 6

Agora calculemos a aceleração total usando a fórmula:
\displaystyle \mathbf{a}(t)=(\ddot r-r\dot\theta^{2})\,\mathbf{e}_{r}+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\,\mathbf{e}_{\theta}.
Substituindo as expressões obtidas:
  • Primeiro calcule r\dot\theta^{2}:
\displaystyle r(t)\dot\theta(t)^{2}=\frac{25}{t+4}\left[\pi(2\kappa t-8)\right]^{2} =\frac{25\pi^{2}}{t+4}\big(2\kappa t-8\big)^{2}.
  • Depois r\ddot\theta:
\displaystyle r(t)\ddot\theta(t)=\frac{25}{t+4}\cdot\pi(2\kappa) =\frac{50\pi\kappa}{t+4}.
  • E 2\dot r\dot\theta:
\displaystyle 2\dot r(t)\dot\theta(t) =2\left(-\frac{25}{(t+4)^{2}}\right)\cdot\pi(2\kappa t-8) =-\frac{50\pi}{(t+4)^{2}}\big(2\kappa t-8\big).
Finalmente,
\displaystyle \mathbf{a}(t)=\left(\frac{50}{(t+4)^{3}}-\frac{25\pi^{2}}{t+4}\big(2\kappa t-8\big)^{2}\right)\mathbf{e}_{r} +\left(\frac{50\pi\kappa}{t+4}-\frac{50\pi}{(t+4)^{2}}\big(2\kappa t-8\big)\right)\mathbf{e}_{\theta}.
Observe que eu juntei \ddot r(t)=\dfrac{50}{(t+4)^{3}} com -r\dot\theta^{2} para o componente radial. Em t=t_{1} basta substituir t=t_{1}.

Passo 7

Interpretação e cálculo do item (c): “aceleração do cursor em relação à haste”.
  • Explicação didática do que vou tomar por essa expressão: normalmente, a aceleração do cursor “em relação à haste” é a componente da aceleração do cursor ao longo da haste (ou seja, o componente radial, porque a haste define a direção radial \mathbf{e}_{r}). Em provas isso é comum: pedem a aceleração relativa ao corpo (componente ao longo da haste) — se o enunciado original queria outra coisa (por exemplo aceleração relativa no referencial não-inercial da haste), seria necessário especificar; aqui a leitura mais natural é o componente ao longo da haste.
Portanto a aceleração do cursor em relação à haste em t é o componente radial:
\displaystyle a_{\text{rel, haste}}(t)=\ddot r(t)-r(t)\dot\theta(t)^{2}.
Substituindo:
\displaystyle a_{\text{rel, haste}}(t)=\frac{50}{(t+4)^{3}}-\frac{25\pi^{2}}{t+4}\big(2\kappa t-8\big)^{2}.
Em t=t_{1}:
\displaystyle a_{\text{rel, haste}}(t_{1})=\frac{50}{(t_{1}+4)^{3}}-\frac{25\pi^{2}}{t_{1}+4}\big(2\kappa t_{1}-8\big)^{2}.

Passo 8

Resumo prático para você aplicar na prova — repita esses passos mentalmente:
  1. Use r(t)=25/(t+4) para obter \dot r e \ddot r.
  2. Use \theta(t)=\pi(\kappa t^2-8t) (com o \kappa que o enunciado define) para obter \dot\theta e \ddot\theta.
  3. A velocidade em polares: \mathbf{v}=\dot r\,\mathbf{e}_{r}+r\dot\theta\,\mathbf{e}_{\theta}.
  4. A aceleração em polares: \mathbf{a}=(\ddot r-r\dot\theta^{2})\,\mathbf{e}_{r}+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\,\mathbf{e}_{\theta}.
  5. Aceleração relativa à haste = componente radial \ddot r-r\dot\theta^{2}.
    Substitua t=t_{1} quando pedir o valor numérico.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{v}(t_{1})=-\frac{25}{(t_{1}+4)^{2}}\,\mathbf{e}_{r} + \frac{25\pi}{t_{1}+4}\big(2\kappa t_{1}-8\big)\,\mathbf{e}_{\theta} \
\displaystyle v(t_{1})=\sqrt{\frac{25^{2}}{(t_{1}+4)^{4}}+\left(\frac{25\pi}{t_{1}+4}(2\kappa t_{1}-8)\right)^{2}}
(b) \displaystyle \mathbf{a}(t_{1})=\left(\frac{50}{(t_{1}+4)^{3}}-\frac{25\pi^{2}}{t_{1}+4}\big(2\kappa t_{1}-8\big)^{2}\right)\mathbf{e}_{r}\;+\;\left(\frac{50\pi\kappa}{t_{1}+4}-\frac{50\pi}{(t_{1}+4)^{2}}\big(2\kappa t_{1}-8\big)\right)\mathbf{e}_{\theta}
(c) \displaystyle a_{\text{rel, haste}}(t_{1})=\frac{50}{(t_{1}+4)^{3}}-\frac{25\pi^{2}}{t_{1}+4}\big(2\kappa t_{1}-8\big)^{2}
Observação final: substitua o valor correto de \kappa (o coeficiente que aparece escrito como \overline{4} no enunciado) — se for \kappa=4 use esse valor; se for \kappa=\tfrac{1}{4} use esse. Depois coloque o valor numérico de t_{1} para obter números finais. Você quer que eu substitua \kappa e t_{1} por valores numéricos (por exemplo \kappa=4 e t_{1}=1\\ \mathrm{s}) e calcule os números? Eu já deixei tudo pronto para você aplicar imediatamente.

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