Lista 01- Exercício-10
A rotação da haste
em torno de
e definida pela relação, onde
: onde
e
são expressos em radianos e segundos, respectivamente. O cursor
desliza ao longo da haste de tal modo que sua distância do ponto
e
, onde
e
são expressos em metros e segundos, respectivamente. Quando
, determine a (a) velocidade do cursor, (
) a aceleração total do cursor, (c) a aceleração do cursor em relação a haste.
Passo 1
O enunciado nos dá as leis do movimento do cursor
que desliza sobre a haste que gira em torno de
. As informações fornecidas e o que nos pedem são:
- Lei do ângulo da haste:
. (O enunciado usa o símbolo antes de ; deixarei essa parte simbólica para que a resolução seja válida mesmo se esse coeficiente for ou . Vou denotar por o coeficiente que multiplica dentro do parêntese, ou seja assumo simbolicamente que .) - Lei da distância radial do cursor ao ponto
: . - Tempo em que devemos avaliar:
(o enunciado indica ; vou deixar os resultados em função de para que você possa substituir o valor numérico que o enunciado original fornece). - Pedidos:
(a) a velocidade do cursor em;
(b) a aceleração total do cursor em;
(c) a aceleração do cursor em relação à haste em.
Observações importantes que vou usar: o movimento é convenientemente tratado em coordenadas polares com origem em
, eixo radial ao longo da haste (vetor unitário
) e eixo transversal tangencial
perpendicular ao radial (no sentido crescente de
). A resposta ficará em componentes nas direções
e
e em módulo quando fizer sentido.
Passo 2
Relembrando as fórmulas fundamentais em coordenadas polares (aula rápida e intuitiva):
- Posição:
. Aqui é a distância radial e é o versor radial (apontando ao longo da haste). - Velocidade: a velocidade tem uma parte radial (variação de
) e uma parte tangencial (devida à rotação da haste),
Explicação curta:
é quanto o ponto se aproxima/afasta de
;
é a rapidez tangencial porque um pequeno ângulo
desloca o ponto aproximadamente
na direção
.
- Aceleração: tem parte radial e parte tangencial,
Explicação curta: o termo
é a aceleração centrípeta (aponta para o centro),
é a aceleração angular tangencial (variação da velocidade angular), e
é a aceleração de Coriolis (surgindo quando você tem variação radial e rotação simultâneas).
Essas fórmulas são padrão e você deve decorá-las/entendê-las para usar numa prova — eu mostrei o significado físico de cada termo para que não seja só decorar.
Passo 3
Calculemos agora
e
a partir de
.
- Derivada primeira:
Comentário: usei a regra de potência:
’ =
.
- Derivada segunda:
Verifique mentalmente: sinal positivo e decresce rápido com
.
Passo 4
Agora derive
e
a partir de
, onde
é o coeficiente simbólico (no enunciado aparece como
; substitua
por
ou
caso você saiba qual era o valor correto).
- Derivada primeira:
Explicação: derivada de
é
e de
é
.
- Derivada segunda:
Constante (para
fixo), ou seja a aceleração angular é constante se
é constante.
Passo 5
Escrevemos agora a velocidade vetorial geral em função de
, usando as fórmulas do Passo 2 e as derivadas que encontramos:
Se você preferir o módulo (a velocidade escalar, “rapidez”):
No momento
(substitua
):
Dica prática para prova: ao calcular o módulo, fator comum
pode simplificar a expressão se necessário.
Passo 6
Agora calculemos a aceleração total usando a fórmula:
Substituindo as expressões obtidas:
- Primeiro calcule
:
- Depois
:
- E
:
Finalmente,
Observe que eu juntei
com
para o componente radial. Em
basta substituir
.
Passo 7
Interpretação e cálculo do item (c): “aceleração do cursor em relação à haste”.
- Explicação didática do que vou tomar por essa expressão: normalmente, a aceleração do cursor “em relação à haste” é a componente da aceleração do cursor ao longo da haste (ou seja, o componente radial, porque a haste define a direção radial
). Em provas isso é comum: pedem a aceleração relativa ao corpo (componente ao longo da haste) — se o enunciado original queria outra coisa (por exemplo aceleração relativa no referencial não-inercial da haste), seria necessário especificar; aqui a leitura mais natural é o componente ao longo da haste.
Portanto a aceleração do cursor em relação à haste em
é o componente radial:
Substituindo:
Em
:
Passo 8
Resumo prático para você aplicar na prova — repita esses passos mentalmente:
- Use
para obter e . - Use
(com o que o enunciado define) para obter e . - A velocidade em polares:
. - A aceleração em polares:
. - Aceleração relativa à haste = componente radial
.
Substituaquando pedir o valor numérico.
Resposta
(a)
\
(b)
(c)
Observação final: substitua o valor correto de
(o coeficiente que aparece escrito como
no enunciado) — se for
use esse valor; se for
use esse. Depois coloque o valor numérico de
para obter números finais. Você quer que eu substitua
e
por valores numéricos (por exemplo
e
) e calcule os números? Eu já deixei tudo pronto para você aplicar imediatamente.