Lista 01- Exercício-9

Um carro e um caminhão estão viajando numa velocidade constante de 56 \mathrm{~km} / \mathrm{h}; o carro está 12 m atras do caminhão. O motorista do carro quer passar o caminhão, ou seja, ele deseja colocar seu carro em B, 12 \mathrm{~m} a frente do caminhão, e depois reduzir sua velocidade para 56 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A aceleração máxima do carro e 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}_{2} e a máxima desaceleração obtida com aplicando-se os freios e 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual e o menor tempo no qual o motorista do carro pode completar a operação de ultrapassagem se ele nao pode exceder a velocidade de 80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Construa a curva v-t.

Passo 1

O enunciado pede o menor tempo para que o carro, que está inicialmente 12\\ \mathrm{m} atrás do caminhão e ambos viajam à mesma velocidade constante de 56\\ \mathrm{km/h}, passe o caminhão e termine com seu carro 12\\ \mathrm{m} à frente do caminhão, retornando depois à velocidade de 56\\ \mathrm{km/h}. Foi dada a aceleração máxima do carro 1{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}}, a desaceleração máxima (freio) 6\\ \mathrm{m/s^{2}} e a velocidade máxima permitida 80\\ \mathrm{km/h}. A figura do enunciado contém valores que eu usei explicitamente: a folga inicial de 12\\ \mathrm{m} atrás e a folga final desejada de 12\\ \mathrm{m} à frente (essas duas folgas estão indicadas na imagem). Não há necessidade de usar as outras medidas da figura para o cálculo que farei aqui, pois vou medir deslocamentos relativos entre as frentes dos veículos conforme explicado abaixo. A pergunta adicional é “Construa a curva v- t”; portanto devo também descrever as fases de velocidade no tempo (aceleração, cruzeiro, frenagem, retorno à velocidade inicial).

Passo 2

Escolher um referencial conveniente e explicar a estratégia. É muito mais simples trabalhar no referencial do caminhão (referencial deslocando-se com velocidade constante do caminhão). Nesse referencial o caminhão está parado e o carro começa com velocidade relativa
v_{r0}=v_{\text{car}}-v_{\text{truck}}=0,
pois ambos têm 56\\ \mathrm{km/h} inicialmente. O objetivo no referencial do caminhão é que o carro avance uma distância relativa s_{r} igual à mudança de posição exigida: passar de 12\\ \mathrm{m} atrás para 12\\ \mathrm{m} à frente do caminhão, ou seja
s_{r}=12\\ \mathrm{m}+12\\ \mathrm{m}=24\\ \mathrm{m}.
No referencial do caminhão, o carro parte com velocidade relativa 0, acelera com a_{1}=1{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}} até uma velocidade relativa v_{r,\max} (que é v_{\text{car,peak}}-v_{\text{truck}}), possivelmente mantém essa velocidade relativa em cruzeiro se necessário, e depois freia com desaceleração a_{2}=6\\ \mathrm{m/s^{2}} até voltar a velocidade relativa 0. Nosso objetivo é achar o perfil de velocidade que cobre s_{r}=24\\ \mathrm{m} no menor tempo possível, com a restrição de que a velocidade do carro não ultrapasse 80\\ \mathrm{km/h}.

Passo 3

Converter velocidades para unidades SI (m/s). Faço as conversões:
56\\ \mathrm{km/h}=\frac{56\cdot1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=15{,}555\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 15{,}556\\ \mathrm{m/s},
80\\ \mathrm{km/h}=\frac{80\cdot1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=22{,}222\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 22{,}222\\ \mathrm{m/s}.
No referencial do caminhão, a velocidade relativa máxima permitida (se o carro atingir 80\\ \mathrm{km/h}) é
v_{r,\text{cap}}=22{,}222-15{,}556=6{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}\approx 6{,}667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Verificar se, para cobrir s_{r}=24\\ \mathrm{m}, o carro consegue fazer apenas uma aceleração seguida de frenagem sem atingir o limite de 80\\ \mathrm{km/h}. Para o caso sem limite de velocidade, se o carro acelera até uma velocidade relativa v_{r,p} e em seguida freia até zero, a distância relativa total é a soma das distâncias de aceleração e frenagem:
s_{r}= \frac{v_{r,p}^2}{2a_{1}} + \frac{v_{r,p}^2}{2a_{2}} = v_{r,p}^2\left(\frac{1}{2a_{1}}+\frac{1}{2a_{2}}\right).
Isolando v_{r,p},
v_{r,p}=\sqrt{\frac{s_{r}}{\frac{1}{2a_{1}}+\frac{1}{2a_{2}}}}.
Substituo a_{1}=1{,}5 e a_{2}=6 e s_{r}=24:
\frac{1}{2a_{1}}+\frac{1}{2a_{2}}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{1{,}5}+\frac{1}{6}\Big)=\frac{1}{2}\Big(0{,}666\ldots+0{,}166\ldots\Big)=0{,}416666\ldots
v_{r,p}=\sqrt{\frac{24}{0{,}416666\ldots}}=\sqrt{57{,}6}\approx 7{,}586\\ \mathrm{m/s}.
A velocidade de pico correspondente no referencial do solo seria
v_{\text{peak}}=v_{\text{truck}}+v_{r,p}=15{,}556+7{,}586=23{,}142\\ \mathrm{m/s}\approx 83{,}3\\ \mathrm{km/h},
o que excede o limite permitido 80\\ \mathrm{km/h}. Portanto o carro NÃO pode usar esse esquema: ele atinge o limite de 80\\ \mathrm{km/h} antes de completar a ultrapassagem ótima sem limite. Logo o plano ótimo respeitando o limite será: acelerar até 80\\ \mathrm{km/h}, possivelmente manter essa velocidade por algum tempo (cruise), e então frear até 56\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Calcular as distâncias e tempos nas três fases (aceleração até 80\\ \mathrm{km/h}, cruzeiro a 80\\ \mathrm{km/h}, frenagem até 56\\ \mathrm{km/h}) no referencial do caminhão.
No referencial do caminhão:
  • velocidade relativa na cota máxima permitida:
v_{r,\text{cap}}=6{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
  • distância relativa necessária para acelerar do repouso relativo até v_{r,\text{cap}}:
s_{1}=\frac{v_{r,\text{cap}}^{2}}{2a_{1}}=\frac{(6{,}666\ldots)^{2}}{2\cdot 1{,}5}=\frac{44{,}444\ldots}{3}=14{,}8148\\ \mathrm{m}.
  • tempo de aceleração:
t_{1}=\frac{v_{r,\text{cap}}}{a_{1}}=\frac{6{,}666\ldots}{1{,}5}=4{,}4444\\ \mathrm{s}.
  • distância relativa necessária para frear de v_{r,\text{cap}} até zero (com a_{2}=6\\ \mathrm{m/s^{2}}):
s_{3}=\frac{v_{r,\text{cap}}^{2}}{2a_{2}}=\frac{44{,}444\ldots}{12}=3{,}7037\\ \mathrm{m}.
  • tempo de frenagem:
t_{3}=\frac{v_{r,\text{cap}}}{a_{2}}=\frac{6{,}666\ldots}{6}=1{,}1111\\ \mathrm{s}.
A soma das distâncias de aceleração e frenagem é
s_{1}+s_{3}=14{,}8148+3{,}7037=18{,}5185\\ \mathrm{m}.
Como o total necessário é s_{r}=24\\ \mathrm{m}, sobra para ser percorrido em cruzeiro:
s_{2}=s_{r}-(s_{1}+s_{3})=24-18{,}5185=5{,}4815\\ \mathrm{m}.
O tempo de cruzeiro relativo é
t_{2}=\frac{s_{2}}{v_{r,\text{cap}}}=\frac{5{,}4815}{6{,}666\ldots}=0{,}8222\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Somar os tempos de cada fase para obter o tempo total mínimo:
t_{\text{total}}=t_{1}+t_{2}+t_{3}=4{,}4444+0{,}8222+1{,}1111=6{,}3778\\ \mathrm{s}\approx 6{,}38\\ \mathrm{s}.
Interpretação física: o carro acelera de 56\\ \mathrm{km/h} a 80\\ \mathrm{km/h} em 4{,}44\\ \mathrm{s}, mantém 80\\ \mathrm{km/h} por 0{,}82\\ \mathrm{s} (tempo curto de cruzeiro necessário para a distância restante), e então freia de 80\\ \mathrm{km/h} a 56\\ \mathrm{km/h} em 1{,}11\\ \mathrm{s}, totalizando aproximadamente 6{,}38\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Desenho/descrição da curva v- t (perfil de velocidade no tempo):
  • Para 0\le t\le t_{1}=4{,}444\\ \mathrm{s}: velocidade aumenta linearmente de 15{,}556\\ \mathrm{m/s} até 22{,}222\\ \mathrm{m/s} com inclinação a_{1}=1{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para t_{1}<t\le t_{1}+t_{2}=5{,}266\\ \mathrm{s}: velocidade é constante 22{,}222\\ \mathrm{m/s} (trecho de cruzeiro curto).
  • Para t_{1}+t_{2}<t\le t_{1}+t_{2}+t_{3}=6{,}378\\ \mathrm{s}: velocidade diminui linearmente de 22{,}222\\ \mathrm{m/s} até 15{,}556\\ \mathrm{m/s} com inclinação -6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para t>6{,}378\\ \mathrm{s}: velocidade permanece 15{,}556\\ \mathrm{m/s} (retorno à velocidade original).

Resposta

Tempo mínimo aproximado para completar a ultrapassagem: 6{,}38\\ \mathrm{s}.
Perfil v- t (segmentos com valores):
  • Acelerar de 56\\ \mathrm{km/h} a 80\\ \mathrm{km/h}: t_{1}=4{,}444\\ \mathrm{s} (aceleração 1{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Cruzeiro a 80\\ \mathrm{km/h}: t_{2}=0{,}822\\ \mathrm{s}.
  • Frenagem de 80\\ \mathrm{km/h} a 56\\ \mathrm{km/h}: t_{3}=1{,}111\\ \mathrm{s} (desaceleração 6\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Total: t_{1}+t_{2}+t_{3}=6{,}3778\\ \mathrm{s}\approx 6{,}38\\ \mathrm{s}.

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