Lista 01- Exercício-9
Um carro e um caminhão estão viajando numa velocidade constante de
; o carro está 12 m atras do caminhão. O motorista do carro quer passar o caminhão, ou seja, ele deseja colocar seu carro em
a frente do caminhão, e depois reduzir sua velocidade para
. A aceleração máxima do carro e
e a máxima desaceleração obtida com aplicando-se os freios e
. Qual e o menor tempo no qual o motorista do carro pode completar a operação de ultrapassagem se ele nao pode exceder a velocidade de
. Construa a curva v-t.
Passo 1
O enunciado pede o menor tempo para que o carro, que está inicialmente
atrás do caminhão e ambos viajam à mesma velocidade constante de
, passe o caminhão e termine com seu carro
à frente do caminhão, retornando depois à velocidade de
. Foi dada a aceleração máxima do carro
, a desaceleração máxima (freio)
e a velocidade máxima permitida
. A figura do enunciado contém valores que eu usei explicitamente: a folga inicial de
atrás e a folga final desejada de
à frente (essas duas folgas estão indicadas na imagem). Não há necessidade de usar as outras medidas da figura para o cálculo que farei aqui, pois vou medir deslocamentos relativos entre as frentes dos veículos conforme explicado abaixo. A pergunta adicional é “Construa a curva
-
”; portanto devo também descrever as fases de velocidade no tempo (aceleração, cruzeiro, frenagem, retorno à velocidade inicial).
Passo 2
Escolher um referencial conveniente e explicar a estratégia. É muito mais simples trabalhar no referencial do caminhão (referencial deslocando-se com velocidade constante do caminhão). Nesse referencial o caminhão está parado e o carro começa com velocidade relativa
pois ambos têm
inicialmente. O objetivo no referencial do caminhão é que o carro avance uma distância relativa
igual à mudança de posição exigida: passar de
atrás para
à frente do caminhão, ou seja
No referencial do caminhão, o carro parte com velocidade relativa
, acelera com
até uma velocidade relativa
(que é
), possivelmente mantém essa velocidade relativa em cruzeiro se necessário, e depois freia com desaceleração
até voltar a velocidade relativa
. Nosso objetivo é achar o perfil de velocidade que cobre
no menor tempo possível, com a restrição de que a velocidade do carro não ultrapasse
.
Passo 3
Converter velocidades para unidades SI (m/s). Faço as conversões:
No referencial do caminhão, a velocidade relativa máxima permitida (se o carro atingir
) é
Passo 4
Verificar se, para cobrir
, o carro consegue fazer apenas uma aceleração seguida de frenagem sem atingir o limite de
. Para o caso sem limite de velocidade, se o carro acelera até uma velocidade relativa
e em seguida freia até zero, a distância relativa total é a soma das distâncias de aceleração e frenagem:
Isolando
,
Substituo
e
e
:
A velocidade de pico correspondente no referencial do solo seria
o que excede o limite permitido
. Portanto o carro NÃO pode usar esse esquema: ele atinge o limite de
antes de completar a ultrapassagem ótima sem limite. Logo o plano ótimo respeitando o limite será: acelerar até
, possivelmente manter essa velocidade por algum tempo (cruise), e então frear até
.
Passo 5
Calcular as distâncias e tempos nas três fases (aceleração até
, cruzeiro a
, frenagem até
) no referencial do caminhão.
No referencial do caminhão:
- velocidade relativa na cota máxima permitida:
- distância relativa necessária para acelerar do repouso relativo até
:
- tempo de aceleração:
- distância relativa necessária para frear de
até zero (com ):
- tempo de frenagem:
A soma das distâncias de aceleração e frenagem é
Como o total necessário é
, sobra para ser percorrido em cruzeiro:
O tempo de cruzeiro relativo é
Passo 6
Somar os tempos de cada fase para obter o tempo total mínimo:
Interpretação física: o carro acelera de
a
em
, mantém
por
(tempo curto de cruzeiro necessário para a distância restante), e então freia de
a
em
, totalizando aproximadamente
.
Passo 7
Desenho/descrição da curva
-
(perfil de velocidade no tempo):
- Para
: velocidade aumenta linearmente de até com inclinação . - Para
: velocidade é constante (trecho de cruzeiro curto). - Para
: velocidade diminui linearmente de até com inclinação . - Para
: velocidade permanece (retorno à velocidade original).
Resposta
Tempo mínimo aproximado para completar a ultrapassagem:
.
Perfil
-
(segmentos com valores):
- Acelerar de
a : (aceleração ). - Cruzeiro a
: . - Frenagem de
a : (desaceleração ). - Total:
.