Questão 1 : Durante um experimento em laboratório, foi medida a variação do comprimento de uma barra metálica ao ser aquecida progressivamente. A barra possui comprimento inicial de \mathrm{L}_{0}=1,000 \mathrm{~m}. A cada intervalo de temperatura, registrou-se o comprimento da barra.
Os dados coletados estão na tabela abaixo:
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) Comprimento (\mathrm{m})
20 1,0000
30 1,0002
40 1,0004
50 1,0006
60 1,0008

Com base nesses dados:

Construa um gráfico do comprimento da barra em função da temperatura. Determine o coeficiente de dilatação linear a do material a partir da inclinação da reta obtida. Compare seu valor com o valor tabelado do alumínio \left(\alpha=2,4 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}-1\right). O material da barra pode ser alumínio? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma barra metálica com comprimento inicial \mathrm{L}_{0}=1{,}000\\ \mathrm{m} e mede o comprimento em função da temperatura. As informações relevantes são:
\bullet Temperaturas e comprimentos medidos (tabela dada):
\begin{array}{ll} T\\ (\!^\circ\mathrm{C}) & L\\ (\mathrm{m})\\[4pt] 20 & 1{,}0000\\[4pt] 30 & 1{,}0002\\[4pt] 40 & 1{,}0004\\[4pt] 50 & 1{,}0006\\[4pt] 60 & 1{,}0008 \end{array}
\bullet Pedido do problema:
  1. Construir o gráfico do comprimento L em função da temperatura T.
  2. Determinar o coeficiente de dilatação linear \alpha a partir da inclinação da reta obtida.
  3. Comparar o valor obtido com o valor tabelado do alumínio \left(\alpha_{\text{Al}}=2{,}4\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}\right) e concluir se a barra pode ser de alumínio, justificando.]

Passo 2

Como montar o gráfico (passo a passo prático, para que você faça rápido na prova):
\bullet Eixos: coloque a temperatura T no eixo horizontal (eixo x) e o comprimento L no eixo vertical (eixo y). Use unidade: T em ^\circ\mathrm{C}, L em \mathrm{m}.
\bullet Escalas: a variação de T vai de 20 a 60\\ ^\circ\mathrm{C}. A variação de L vai de 1{,}0000 a 1{,}0008\\ \mathrm{m}. Escolha uma escala vertical que permita distinguir 0{,}0002 em 10 °C (por exemplo, 0{,}0001 por divisão pequena).
\bullet Pontos: plote os pares (20,1{,}0000), (30,1{,}0002), (40,1{,}0004), (50,1{,}0006), (60,1{,}0008).
\bullet Ajuste: os cinco pontos ficam exatamente sobre uma reta (observando a tabela nota-se incremento constante). Trace a reta que passa pelos pontos (basta ligar qualquer par extremo, ex.: de (20,1{,}0000) a (60,1{,}0008)). Essa reta é o gráfico de L vs T.
Observação: na prova, se os pontos não estiverem perfeitamente sobre uma reta, faça ajuste linear (regressão ou linha de mínimos quadrados). Aqui os pontos são exatos e formam uma reta.

Passo 3

Fórmula física e relação com a inclinação (aula rápida sobre o conceito):
A dilatação linear diz que, para variações de temperatura relativamente pequenas e material homogêneo,
\Delta L = \alpha\, L_{0}\,\Delta T,
onde \Delta L = L-L_{0} é a variação do comprimento, \Delta T é a variação de temperatura, L_{0} é o comprimento de referência (aqui foi dado L_{0}=1{,}000\\ \mathrm{m}), e \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}).
Se escrevermos L como função de T obtemos uma relação linear:
L(T)=L_{0}+\alpha\,L_{0}\,(T-T_{0}),
onde T_{0} é a temperatura em que L_{0} foi medido. Em termos de inclinação (derivada),
\frac{dL}{dT}=\alpha\,L_{0}.
Portanto, a inclinação da reta no gráfico L vs T é m=\dfrac{dL}{dT}=\alpha L_{0}. Assim, para encontrar \alpha basta calcular a inclinação m e dividir por L_{0}:
\alpha=\frac{m}{L_{0}}.
Explicação clara das variáveis:
\alpha — coeficiente que nos diz quanto o comprimento relativo cresce por grau Celsius;
L_{0} — comprimento de referência (o valor do comprimento na temperatura inicial conhecida);
m — inclinação (em \mathrm{m}/^\circ\mathrm{C}) do gráfico L versus T.

Passo 4

Calcular a inclinação da reta a partir dos dados (método simples usando dois pontos):
Escolho os extremos para melhor precisão: ponto em T_{1}=20\\ ^\circ\mathrm{C} com L_{1}=1{,}0000\\ \mathrm{m} e T_{2}=60\\ ^\circ\mathrm{C} com L_{2}=1{,}0008\\ \mathrm{m}. A inclinação é
m=\frac{L_{2}-L_{1}}{T_{2}-T_{1}}=\frac{1{,}0008-1{,}0000}{60-20}.
Calculemos passo a passo:
\bullet Diferença de comprimento:
L_{2}-L_{1}=1{,}0008-1{,}0000=0{,}0008\\ \mathrm{m}.
\bullet Diferença de temperatura:
T_{2}-T_{1}=60-20=40\\ ^\circ\mathrm{C}.
\bullet Inclinação:
m=\frac{0{,}0008}{40}=0{,}00002\\ \mathrm{m}/^\circ\mathrm{C}.
Em notação científica:
m=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}/^\circ\mathrm{C}.
Observação: você poderia também notar pela tabela que a cada aumento de 10\\ ^\circ\mathrm{C} o comprimento aumenta 0{,}0002\\ \mathrm{m}, portanto por 1\\ ^\circ\mathrm{C} o aumento é 0{,}00002\\ \mathrm{m}, o que confirma m acima.

Passo 5

Calcular \alpha usando \alpha=m/L_{0}:
Temos m=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}/^\circ\mathrm{C} e L_{0}=1{,}000\\ \mathrm{m} (valor fornecido e compatível com o dado em 20\\ ^\circ\mathrm{C}). Então
\alpha=\frac{m}{L_{0}}=\frac{2{,}0\times10^{-5}}{1{,}000}=2{,}0\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Verificação numérica simples: para \Delta T=10\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta L=\alpha L_{0}\Delta T = 2{,}0\times10^{-5}\cdot1{,}000\cdot10=0{,}0002\\ \mathrm{m},
que bate com os dados (cada passo de 10\\ ^\circ\mathrm{C} mostra aumento de 0{,}0002\\ \mathrm{m}).

Passo 6

Comparação com o valor tabelado do alumínio e conclusão:
\bullet Valor experimental encontrado:
\alpha_{\text{exp}}=2{,}0\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
\bullet Valor tabelado para alumínio (dado no enunciado):
\alpha_{\text{Al}}=2{,}4\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
\bullet Diferença absoluta:
\Delta\alpha=\alpha_{\text{Al}}-\alpha_{\text{exp}}=2{,}4\times10^{-5}-2{,}0\times10^{-5}=0{,}4\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
\bullet Diferença percentual (erro relativo em relação ao valor do alumínio):
\frac{\Delta\alpha}{\alpha_{\text{Al}}}=\frac{0{,}4\times10^{-5}}{2{,}4\times10^{-5}}=\frac{0{,}4}{2{,}4}=0{,}1667\approx16{,}7\%.
Interpretação e justificativa prática (tom de amigo/estímulo): um desacordo de cerca de 16{,}7\% é notável — não é um ruído pequeno. Possíveis razões para a discrepância: imprecisão dos instrumentos de medida (por exemplo, o comprimento só registrado até 10^{-4}\\ \mathrm{m}), temperatura do “inicial” diferente do L_{0} assumido, contato térmico imperfeito, tensões mecânicas na barra, ou composição do material diferente do alumínio puro (ligas têm \alpha diferentes). Portanto:
  • Se você exige concordância dentro de poucas porcentagens para afirmar que o material é alumínio, então com estes dados não é seguro afirmar que a barra é alumínio (o valor medido é menor que o tabelado).
  • Se considerar incertezas experimentais grandes (maior que \sim17\%), poderia ainda ser compatível; mas normalmente, para metais puros, espera-se uma concordância melhor. Assim, a conclusão mais honesta é: "provavelmente não é alumínio puro, ou ocorreram erros experimentais que subestimaram \alpha".

Resposta

Gráfico: reta com pontos (20,1{,}0000), (30,1{,}0002), (40,1{,}0004), (50,1{,}0006), (60,1{,}0008); equação da reta obtida: L(T)=0{,}9996+0{,}00002\,T.\n
Coeficiente de dilatação linear obtido: \alpha=2{,}0\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.\n
Comparação: valor tabelado do alumínio \alpha_{\text{Al}}=2{,}4\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}; diferença percentual \approx16{,}7\%.\n
Conclusão: Com os dados fornecidos o valor medido é significativamente menor que o valor tabelado para alumínio; portanto, não se pode afirmar com segurança que a barra seja alumínio puro (ou houve erros experimentais que explicariam a discrepância).

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