Questão 1 : Durante um experimento em laboratório, foi medida a variação do comprimento de uma barra metálica ao ser aquecida progressivamente. A barra possui comprimento inicial de
. A cada intervalo de temperatura, registrou-se o comprimento da barra.
Os dados coletados estão na tabela abaixo:
Temperatura
Comprimento
20
1,0000
30
1,0002
40
1,0004
50
1,0006
60
1,0008
Com base nesses dados:
Construa um gráfico do comprimento da barra em função da temperatura. Determine o coeficiente de dilatação linear a do material a partir da inclinação da reta obtida. Compare seu valor com o valor tabelado do alumínio
. O material da barra pode ser alumínio? Justifique sua resposta.
| Temperatura
|
Comprimento
|
| 20 | 1,0000 |
| 30 | 1,0002 |
| 40 | 1,0004 |
| 50 | 1,0006 |
| 60 | 1,0008 |
Passo 1
O enunciado dá uma barra metálica com comprimento inicial
e mede o comprimento em função da temperatura. As informações relevantes são:
- Construir o gráfico do comprimento
em função da temperatura . - Determinar o coeficiente de dilatação linear
a partir da inclinação da reta obtida. - Comparar o valor obtido com o valor tabelado do alumínio
e concluir se a barra pode ser de alumínio, justificando.]
Passo 2
Como montar o gráfico (passo a passo prático, para que você faça rápido na prova):
Observação: na prova, se os pontos não estiverem perfeitamente sobre uma reta, faça ajuste linear (regressão ou linha de mínimos quadrados). Aqui os pontos são exatos e formam uma reta.
Passo 3
Fórmula física e relação com a inclinação (aula rápida sobre o conceito):
A dilatação linear diz que, para variações de temperatura relativamente pequenas e material homogêneo,
onde
é a variação do comprimento,
é a variação de temperatura,
é o comprimento de referência (aqui foi dado
), e
é o coeficiente de dilatação linear (unidade
).
Se escrevermos
como função de
obtemos uma relação linear:
onde
é a temperatura em que
foi medido. Em termos de inclinação (derivada),
Portanto, a inclinação da reta no gráfico
vs
é
. Assim, para encontrar
basta calcular a inclinação
e dividir por
:
Explicação clara das variáveis:
— coeficiente que nos diz quanto o comprimento relativo cresce por grau Celsius;
— comprimento de referência (o valor do comprimento na temperatura inicial conhecida);
— inclinação (em
) do gráfico
versus
.
Passo 4
Calcular a inclinação da reta a partir dos dados (método simples usando dois pontos):
Escolho os extremos para melhor precisão: ponto em
com
e
com
. A inclinação é
Calculemos passo a passo:
Em notação científica:
Observação: você poderia também notar pela tabela que a cada aumento de
o comprimento aumenta
, portanto por
o aumento é
, o que confirma
acima.
Passo 5
Calcular
usando
:
Temos
e
(valor fornecido e compatível com o dado em
). Então
Verificação numérica simples: para
,
que bate com os dados (cada passo de
mostra aumento de
).
Passo 6
Comparação com o valor tabelado do alumínio e conclusão:
Interpretação e justificativa prática (tom de amigo/estímulo): um desacordo de cerca de
é notável — não é um ruído pequeno. Possíveis razões para a discrepância: imprecisão dos instrumentos de medida (por exemplo, o comprimento só registrado até
), temperatura do “inicial” diferente do
assumido, contato térmico imperfeito, tensões mecânicas na barra, ou composição do material diferente do alumínio puro (ligas têm
diferentes). Portanto:
- Se você exige concordância dentro de poucas porcentagens para afirmar que o material é alumínio, então com estes dados não é seguro afirmar que a barra é alumínio (o valor medido é menor que o tabelado).
- Se considerar incertezas experimentais grandes (maior que
), poderia ainda ser compatível; mas normalmente, para metais puros, espera-se uma concordância melhor. Assim, a conclusão mais honesta é: "provavelmente não é alumínio puro, ou ocorreram erros experimentais que subestimaram ".
Resposta
Gráfico: reta com pontos
,
,
,
,
; equação da reta obtida:
.\n
Coeficiente de dilatação linear obtido:
.\n
Comparação: valor tabelado do alumínio ; diferença percentual
.\n
Conclusão: Com os dados fornecidos o valor medido é significativamente menor que o valor tabelado para alumínio; portanto, não se pode afirmar com segurança que a barra seja alumínio puro (ou houve erros experimentais que explicariam a discrepância).
Comparação: valor tabelado do alumínio
Conclusão: Com os dados fornecidos o valor medido é significativamente menor que o valor tabelado para alumínio; portanto, não se pode afirmar com segurança que a barra seja alumínio puro (ou houve erros experimentais que explicariam a discrepância).