Esta lista depende da resolução da lista anterior. Para encontrar a solução particular y_{p} faz se necessario saber qual a solução geral da equação homogênea associada y_{c} que foi calculada na lista de Revisão 1.
Qual é a forma adequada para a solução particular da equação
y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=2+t e^{2 t}+3 \cos t
se queremos utilizar o método dos coeficientes indeterminados (Não avalie as constantes !!!).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea
y''' - 4y' = 2 + t e^{2t} + 3\cos t
e pede que a gente monte a forma da solução particular y_p pelo método dos coeficientes indeterminados. Para isso é fundamental saber a solução geral da homogênea associada
y''' - 4y' = 0,
já encontrada na Revisão 1.

Passo 2

A equação característica da homogênea é
r^3 - 4r = r(r^2 - 4) = r(r - 2)(r + 2) = 0,
com raízes r=0, r=2 e r=-2. Logo a solução complementar é
y_c = C_1 + C_2 e^{2t} + C_3 e^{-2t}.

Passo 3

Para o termo constante 2, normalmente tentaríamos y_{p1}=A. Mas como r=0 já é raiz simples da homogênea, multiplicamos por t e fazemos
y_{p1} = A\,t.

Passo 4

Para o termo t e^{2t}, o polinômio é de grau 1, então começaríamos com (B t + C)e^{2t}. Como r=2 é raiz simples da homogênea, multiplicamos mais uma vez por t, obtendo
y_{p2} = t\,(B t + C)\,e^{2t} = (B t^2 + C t)\,e^{2t}.

Passo 5

Para o termo 3\cos t, as raízes \pm i não estão na homogênea, então o palpite é o de costume:
y_{p3} = D\cos t + E\sin t.

Resposta

Juntando tudo, a forma adequada para a solução particular é
y_p = A\,t \;+\; (B t^2 + C t)\,e^{2t} \;+\; D\cos t + E\sin t,
com A,B,C,D,E constantes a determinar.

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