Sabendo que y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x e^{x} são soluções da equação homogênea associada de (*), use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação ( \star ).
x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=x, \quad x>0 .

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
x^{2}y''-x(x+2)y'+(x+2)y = x,\quad x>0,
sabendo que as soluções da homogênea são y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x e^{x}. O método de variação dos parâmetros vai nos permitir escrever
y_{p}(x)=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x)
onde u_{1},u_{2} obedecem a um sistema que envolve o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y = g(x).
Dividindo por x^{2} obtém-se
y'' - \frac{x+2}{x}\,y' + \frac{x+2}{x^{2}}\,y = \frac{1}{x},
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g(x)=\frac{1}{x}.
O Wronskiano de \{y_{1},y_{2}\} é
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1}&y_{2}\\\ y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix} = x\cdot\bigl(e^{x}(1+x)\bigr)-1\cdot\bigl(xe^{x}\bigr) = x^{2}e^{x}.

Passo 3

As fórmulas de variação dos parâmetros dão
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)},\quad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}.
Substituindo y_{1}=x, y_{2}=x e^{x}, g=1/x e W=x^{2}e^{x} resulta
u_{1}'(x) =-\frac{x e^{x}\,\tfrac{1}{x}}{x^{2}e^{x}} =-\frac{1}{x^{2}}, \quad u_{2}'(x) =\frac{x\;\tfrac{1}{x}}{x^{2}e^{x}} =\frac{1}{x^{2}e^{x}}.

Passo 4

Integramos cada um:
u_{1}(x)=\int -\frac{1}{x^{2}}\,dx =\frac{1}{x},
u_{2}(x)=\int \frac{1}{x^{2}e^{x}}\,dx =\int x^{-2}e^{-x}\,dx.
Para esta última fazemos partes ou reconhecemos a integral exponencial:
\int x^{-2}e^{-x}\,dx =-\frac{e^{-x}}{x}-\int\frac{e^{-x}}{x}\,dx =-\frac{e^{-x}}{x}-\Ei(-x),
onde \Ei(-x) é a integral exponencial.

Passo 5

Logo uma escolha de u_{2} é
u_{2}(x)=-\frac{e^{-x}}{x}-\Ei(-x).
A solução particular fica
y_{p}(x) =u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x) =\frac{1}{x}\,x +\Bigl(-\frac{e^{-x}}{x}-\Ei(-x)\Bigr)\,x e^{x}.
Simplificando,
y_{p}(x) =1 - 1 - x e^{x}\,\Ei(-x) =-\,x e^{x}\,\Ei(-x).

Resposta

\boxed{y_{p}(x)=-\,x e^{x}\,\Ei(-x),\quad x>0.}

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