(2,0 pts) Mostre que a série
é convergente. A soma desta série é o número de Euler, ou seja,
. Prove que este número chamado número de Euler não é um número racional.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que a série
é convergente. - Mostrar que o número de Euler definido por
é irracional (ou seja, não pode ser escrito como com inteiros e ).
Informações relevantes que temos (tudo vindo do enunciado):
- A série tem termos
, onde por definição para e . - Precisamos tanto da convergência (existência do limite da soma) quanto de uma prova de irracionalidade de
.
Passo 2
Mostrar convergência usando o teste da razão (ratio test). Vou explicar o teste primeiro, como se estivéssemos na prova:
O teste da razão diz: para uma série com termos positivos
, se existir o limite
e se
, então a série converge. A intuição: quando cada termo é, a partir de certo ponto, menor do que uma fração fixa menor que 1 do termo anterior, os termos decrescem geometricamente e a soma converge.
No nosso caso,
. Calculo a razão:
Agora tomo o limite quando
:
Como
, pelo teste da razão a série
converge. (Pequeno reforço: a razão tende a zero porque
cresce muito mais rápido que
.)
Passo 3
Definição: chamamos de
a soma dessa série,
Agora vou provar que
é irracional. A estratégia clássica é por contradição: suponho que
seja racional e mostro uma contradição.
Então suponha, para chegar a um absurdo, que existam inteiros
e
tais que
Passo 4
Separe a soma em uma parte finita (a soma até
) e a cauda (a soma a partir de
). Defina
de modo que
.
Observe que para cada
com
temos que
é um inteiro (porque
quando
, e é
quando
). Portanto
é uma soma de inteiros, logo
é um número inteiro.
Por hipótese
, portanto
que é um inteiro também. Como
e
e
são inteiros, segue que
também deve ser um inteiro (diferença de inteiros).
Portanto
é um inteiro não negativo. Vou mostrar que, na verdade,
, o que é impossível para um inteiro, e assim teremos a contradição.
Passo 5
Mostro a desigualdade que dá a contradição. Escreva a cauda com mudança de índice: para
temos termos com
. Assim
Vamos estimar cada fator
. Note que
Cada fator
no produto é
. Há exatamente
fatores desse tipo, logo
Dessa desigualdade segue
Somando em
,
A soma geométrica vale
. Logo
Multiplicando por
obtemos
Como
temos
, e na verdade para
a desigualdade é estrita quando se observa que
(há termos positivos na cauda), logo
Mas antes demonstramos que
deveria ser um inteiro. Não existe inteiro estritamente entre
e
. Isso é uma contradição.
Passo 6
Concluímos que a hipótese de que
era racional estava errada. Portanto
não pode ser escrito como
com inteiros
. Ou seja,
é irracional.
Resumo rápido da lógica (para lembrar na prova): a parte finita da série, quando multiplicada por
, vira inteiro; se
fosse
então
também é inteiro, então a cauda multiplicada por
teria de ser inteiro; mas a cauda é tão pequena que esse produto fica estritamente entre
e
, impossível para um inteiro — contradição.
Resposta
A série
é convergente.
O número é irracional.
O número