(2,0 pts) Mostre que a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} é convergente. A soma desta série é o número de Euler, ou seja, e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}. Prove que este número chamado número de Euler não é um número racional.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} é convergente.
  • Mostrar que o número de Euler definido por \displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} é irracional (ou seja, não pode ser escrito como \frac{p}{q} com inteiros p,q e q\neq0).
Informações relevantes que temos (tudo vindo do enunciado):
  • A série tem termos a_n=\dfrac{1}{n!}, onde por definição n!=1\cdot2\cdot3\cdots n para n\ge1 e 0!=1.
  • Precisamos tanto da convergência (existência do limite da soma) quanto de uma prova de irracionalidade de e.

Passo 2

Mostrar convergência usando o teste da razão (ratio test). Vou explicar o teste primeiro, como se estivéssemos na prova:
O teste da razão diz: para uma série com termos positivos \sum a_n, se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
e se L<1, então a série converge. A intuição: quando cada termo é, a partir de certo ponto, menor do que uma fração fixa menor que 1 do termo anterior, os termos decrescem geometricamente e a soma converge.
No nosso caso, a_n=\dfrac{1}{n!}. Calculo a razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
Como 0<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!} converge. (Pequeno reforço: a razão tende a zero porque n! cresce muito mais rápido que 1.)

Passo 3

Definição: chamamos de e a soma dessa série,
e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}.
Agora vou provar que e é irracional. A estratégia clássica é por contradição: suponho que e seja racional e mostro uma contradição.
Então suponha, para chegar a um absurdo, que existam inteiros p e q\ge1 tais que
e=\frac{p}{q}.

Passo 4

Separe a soma em uma parte finita (a soma até n=q) e a cauda (a soma a partir de n=q+1). Defina
S=\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}, \qquad T=\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!},
de modo que e=S+T.
Observe que para cada n com 0\le n\le q temos que \dfrac{q!}{n!} é um inteiro (porque q!/n!= (n+1)(n+2)\cdots q quando n<q, e é 1 quando n=q). Portanto
q! S = q!\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}=\sum_{n=0}^{q}\frac{q!}{n!}
é uma soma de inteiros, logo q!S é um número inteiro.
Por hipótese e=\dfrac{p}{q}, portanto
q! e = q!\cdot\frac{p}{q}=p\cdot (q-1)!,
que é um inteiro também. Como q! e = q!S + q!T e q!e e q!S são inteiros, segue que q!T também deve ser um inteiro (diferença de inteiros).
Portanto q!T é um inteiro não negativo. Vou mostrar que, na verdade, 0<q!T<1, o que é impossível para um inteiro, e assim teremos a contradição.

Passo 5

Mostro a desigualdade que dá a contradição. Escreva a cauda com mudança de índice: para k\ge0 temos termos com n=q+1+k. Assim
T=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(q+1+k)!}.
Vamos estimar cada fator (q+1+k)!. Note que
(q+1+k)! = q! \cdot (q+1)(q+2)\cdots(q+1+k).
Cada fator (q+1+j) no produto é \ge q+1. Há exatamente k+1 fatores desse tipo, logo
(q+1+k)! \ge q! \cdot (q+1)^{k+1}.
Dessa desigualdade segue
\frac{1}{(q+1+k)!} \le \frac{1}{q! (q+1)^{k+1}}.
Somando em k\ge0,
T=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(q+1+k)!} \le \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{q!(q+1)^{k+1}} = \frac{1}{q!}\cdot\frac{1}{q+1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^k}.
A soma geométrica vale \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(q+1)^k}=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{q+1}}=\dfrac{q+1}{q}. Logo
T \le \frac{1}{q!}\cdot\frac{1}{q+1}\cdot\frac{q+1}{q}=\frac{1}{q\;q!}.
Multiplicando por q! obtemos
q!T \le \frac{1}{q}.
Como q\ge1 temos \dfrac{1}{q}\le 1, e na verdade para q\ge1 a desigualdade é estrita quando se observa que T>0 (há termos positivos na cauda), logo
0<q!T<1.
Mas antes demonstramos que q!T deveria ser um inteiro. Não existe inteiro estritamente entre 0 e 1. Isso é uma contradição.

Passo 6

Concluímos que a hipótese de que e era racional estava errada. Portanto e não pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com inteiros p,q. Ou seja, e é irracional.
Resumo rápido da lógica (para lembrar na prova): a parte finita da série, quando multiplicada por q!, vira inteiro; se e fosse \frac{p}{q} então q!e também é inteiro, então a cauda multiplicada por q! teria de ser inteiro; mas a cauda é tão pequena que esse produto fica estritamente entre 0 e 1, impossível para um inteiro — contradição.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} é convergente.
O número \displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} é irracional.

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