Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}3 & 2 \\ -2 & -1\end{array}\right) X+\binom{2 e{-t}}{e{-t}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema
X' = A\,X + f(t),
onde
A = \begin{pmatrix}3 & 2\\\\ -2 & -1\end{pmatrix}, \quad f(t)=\begin{pmatrix}2e^{-t}\e^{-t}\end{pmatrix}.
Vamos usar variação de parâmetros (ou variação de constantes): primeiro resolvemos o homogêneo X'=AX, depois construímos a matriz fundamental \Phi(t) e aplicamos
X(t)=\Phi(t)\Bigl(\int \Phi(t)^{-1}f(t)\,dt\Bigr).

Passo 2

Resolvendo o homogêneo X'=AX: o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2,
logo \lambda=1 dupla. Um autovetor é
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
e um vetor generalizado v_2 satisfaz (A-I)v_2=v_1. Uma escolha é
v_2=\begin{pmatrix}0\\tfrac12\end{pmatrix}.
As duas soluções fundamentais são
X_1(t)=e^{t}v_1, \quad X_2(t)=te^{t}v_1+e^{t}v_2.

Passo 3

A matriz fundamental é
\Phi(t)=\bigl[X_1(t)\;X_2(t)\bigr] =\begin{pmatrix} e^{t} & t\,e^{t}\\\\ -\,e^{t} &(-t+\tfrac12)e^{t} \end{pmatrix}.
Seu determinante é \det\Phi(t)=\tfrac12e^{2t}, então
\Phi(t)^{-1} =2e^{-2t} \begin{pmatrix} (-t+\tfrac12)e^{t} & -\,t\,e^{t}\\\ e^{t} & e^{t} \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos
u'(t)=\Phi(t)^{-1}f(t) =2e^{-2t} \begin{pmatrix} (-t+\tfrac12)e^{t} & -t\,e^{t}\\\ e^{t} & e^{t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2e^{-t}\e^{-t}\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação:
u'_1(t)=2e^{-2t}\bigl[(-t+\tfrac12)\cdot2 +(-t)\cdot1\bigr] =2e^{-2t}(1-3t), \quad u'_2(t)=2e^{-2t}(2+1)=6e^{-2t}.
Integramos (tomando constantes de integração zero para a particular):
u_1(t)=\int 2(1-3t)e^{-2t}dt =3t\,e^{-2t}+\tfrac12e^{-2t}, \quad u_2(t)=\int 6e^{-2t}dt=-3e^{-2t}.

Passo 5

A solução particular é
X_p(t)=\Phi(t)\begin{pmatrix}u_1(t)\u_2(t)\end{pmatrix},
que ao calcular dá
X_p(t)=\begin{pmatrix}\tfrac12e^{-t}\\\ -2e^{-t}\end{pmatrix}.
Logo a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
X(t)=C_1e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +C_2\!\Bigl(te^{t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}+e^{t}\begin{pmatrix}0\\tfrac12\end{pmatrix}\Bigr) +\begin{pmatrix}\tfrac12e^{-t}\\\ -2e^{-t}\end{pmatrix}.

Resposta

X(t)=C_1e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +C_2\!\Bigl(te^{t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}+e^{t}\begin{pmatrix}0\\tfrac12\end{pmatrix}\Bigr) +\begin{pmatrix}\tfrac12e^{-t}\\\ -2e^{-t}\end{pmatrix}.

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