Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) X+\binom{\cos t}{\sin t} e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear não homogêneo
X' = A\,X + g(t),
onde
A = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}, \qquad g(t) = e^{t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix},
usando variação de parâmetros. Para isso vamos precisar (a) encontrar a matriz fundamental \Phi(t) do sistema homogêneo X'=AX e (b) aplicar a fórmula
X_p(t)=\Phi(t)\int \Phi(t)^{-1}\,g(t)\,dt.]

Passo 2

Resolvendo o homogêneo X'=AX: note que
A = I + J, \quad J = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
e J^2=-I. Logo
e^{At} = e^{(I+J)t} = e^{t}\,e^{Jt}.
Como e^{Jt}=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\[4pt]\sin t&\cos t\end{pmatrix}, a matriz fundamental é
\Phi(t) = e^{t} \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\[4pt] \sin t & \cos t \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, precisamos de \Phi(t)^{-1}. Como \Phi(t)=e^{t}R(t) com R(t)=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\sin t&\cos t\end{pmatrix} e R(t)^{-1}=R(-t), temos
\Phi(t)^{-1} = R(-t)\,e^{-t} = e^{-t} \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\[4pt] -\sin t & \cos t \end{pmatrix}.
O integrando fica
\Phi(t)^{-1}g(t) = e^{-t}R(-t)\,\bigl(e^{t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}\bigr) = R(-t)\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Integramos
\int \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}dt = \begin{pmatrix}t\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

O particular é
X_p(t) = \Phi(t)\begin{pmatrix}t\\[4pt]0\end{pmatrix} = e^{t} \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\[4pt] \sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t\\[4pt]0\end{pmatrix} = e^{t} \begin{pmatrix} t\cos t\\[4pt] t\sin t \end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
X(t) = \Phi(t)C + X_p(t),
onde C\in\mathbb R^2. Escrevendo em constantes C_1,C_2,
X(t) = C_1\,e^{t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix} + C_2\,e^{t}\begin{pmatrix}-\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix} + e^{t}\begin{pmatrix}t\cos t\\[4pt]t\sin t\end{pmatrix}.]

Resposta

X(t) = C_1\,e^{t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix} + C_2\,e^{t}\begin{pmatrix}-\sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix} + e^{t}\begin{pmatrix}t\cos t\\[4pt]t\sin t\end{pmatrix}.]

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