Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}3 & -5 \\ \frac{3}{4} & -1\end{array}\right) X+\binom{1}{-1} e^{\frac{t}{2}}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
X' = A\,X + b\,e^{t/2},
onde
A = \begin{pmatrix}3 & -5\\[6pt]\tfrac{3}{4}&-1\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix},
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros (ou variação de constantes). Para isso precisamos (i) achar a solução geral do sistema homogêneo X'=AX, (ii) montar a matriz fundamental \Phi(t), (iii) calcular \Phi^{-1}(t)\,b\,e^{t/2}, (iv) integrar para encontrar a parte particular e (v) escrever a solução geral.]

Passo 2

Primeiro resolvemos o homogêneo X'=AX. As autovalores vêm da equação característica
\det(A-\lambda I) =\begin{vmatrix}3-\lambda & -5\\[3pt]\tfrac{3}{4}&-1-\lambda\end{vmatrix} =(3-\lambda)(-1-\lambda)-\bigl(-5\cdot\tfrac{3}{4}\bigr)=0.
Expandindo e simplificando obtemos
\lambda^2-2\lambda+\tfrac{3}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=\tfrac{3}{2},\;\lambda_2=\tfrac{1}{2}.
Para \lambda_1=\tfrac32, o autovetor satisfaz (3-\tfrac32)x-5y=0, ou seja \tfrac32x=5y, então tomamos
v_1=\begin{pmatrix}10\\\ 3\end{pmatrix} \quad(\text{pois }10/3= x/y).
Para \lambda_2=\tfrac12, (3-\tfrac12)x-5y=0 \tfrac52x=5y, logo escolhemos
v_2=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} \quad(\text{pois }2/1=x/y).
Assim a solução geral do homogêneo é
X_h(t) =C_1\,v_1\,e^{\tfrac{3t}{2}} +C_2\,v_2\,e^{\tfrac{t}{2}}.]

Passo 3

A matriz fundamental \Phi(t) organizada com as colunas v_1e^{3t/2} e v_2e^{t/2} é
\Phi(t) =\begin{pmatrix} 10e^{\tfrac{3t}{2}} & 2e^{\tfrac{t}{2}}\\[6pt] 3e^{\tfrac{3t}{2}} & 1e^{\tfrac{t}{2}} \end{pmatrix}.
O determinante é
\det\Phi(t) =(10\cdot1-2\cdot3)\,e^{2t} =4e^{2t}.
Então
\Phi^{-1}(t) =\frac1{4e^{2t}} \begin{pmatrix} 1e^{\tfrac{t}{2}} & -2e^{\tfrac{t}{2}}\\[4pt] -3e^{\tfrac{3t}{2}} & 10e^{\tfrac{3t}{2}} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos o produto \Phi^{-1}(t)\,b\,e^{t/2}:
\Phi^{-1}(t)\,b\,e^{\tfrac{t}{2}} =\frac1{4e^{2t}} \begin{pmatrix} 1e^{\tfrac{t}{2}} & -2e^{\tfrac{t}{2}}\\[4pt] -3e^{\tfrac{3t}{2}} & 10e^{\tfrac{3t}{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} e^{\tfrac{t}{2}}.
O produto interno dá
\begin{pmatrix} (e^{t/2}\cdot1)+(-2e^{t/2}\cdot(-1))\\[4pt] (-3e^{3t/2}\cdot1)+(10e^{3t/2}\cdot(-1)) \end{pmatrix} e^{\tfrac{t}{2}} = \begin{pmatrix} 3e^t\\[4pt] -13e^{2t} \end{pmatrix},
logo
\Phi^{-1}(t)\,b\,e^{\tfrac{t}{2}} =\begin{pmatrix} \frac{3e^t}{4e^{2t}}\\[4pt] \frac{-13e^{2t}}{4e^{2t}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4}e^{-t}\\[4pt] -\frac{13}{4} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Pela variação de parâmetros, a parte particular é
X_p(t) =\Phi(t)\int\Phi^{-1}(t)\,b\,e^{\tfrac{t}{2}}\,dt =\Phi(t) \begin{pmatrix} \displaystyle\int\frac{3}{4}e^{-t}dt\\[6pt] \displaystyle\int-\frac{13}{4}\,dt \end{pmatrix}.
Integrando (e tomando constantes de integração zero para uma particular qualquer),
\int\frac{3}{4}e^{-t}dt=-\frac{3}{4}e^{-t}, \quad \int-\frac{13}{4}dt=-\frac{13}{4}t.
Então
X_p(t) =\begin{pmatrix} 10e^{\tfrac{3t}{2}} & 2e^{\tfrac{t}{2}}\\[6pt] 3e^{\tfrac{3t}{2}} & e^{\tfrac{t}{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{4}e^{-t}\\[6pt] -\tfrac{13}{4}t \end{pmatrix}.]

Passo 6

Fazendo o produto de matrizes para obter componentes explícitas, obtemos
X_p(t) =\begin{pmatrix} e^{\tfrac{t}{2}}\bigl(-\tfrac{15}{2}-\tfrac{13}{2}t\bigr)\\[6pt] e^{\tfrac{t}{2}}\bigl(-\tfrac{9}{4}-\tfrac{13}{4}t\bigr) \end{pmatrix}.
Portanto a solução geral do sistema é
X(t) =X_h(t)+X_p(t) =C_1\begin{pmatrix}10\\\ 3\end{pmatrix}e^{\tfrac{3t}{2}} +C_2\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}e^{\tfrac{t}{2}} +\begin{pmatrix} e^{\tfrac{t}{2}}\bigl(-\tfrac{15}{2}-\tfrac{13}{2}t\bigr)\\[6pt] e^{\tfrac{t}{2}}\bigl(-\tfrac{9}{4}-\tfrac{13}{4}t\bigr) \end{pmatrix}.]

Resposta

X(t) =C_1\begin{pmatrix}10\\\ 3\end{pmatrix}e^{\tfrac{3t}{2}} +C_2\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}e^{\tfrac{t}{2}} +\begin{pmatrix} e^{\tfrac{t}{2}}\bigl(-\tfrac{15}{2}-\tfrac{13}{2}t\bigr)\\[6pt] e^{\tfrac{t}{2}}\bigl(-\tfrac{9}{4}-\tfrac{13}{4}t\bigr) \end{pmatrix}.]

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