Lista de Exercícios 7.4 1- Aplique a variação dos parâmetros para resolver o sistema dado.
X^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}3 & -5 \\ \frac{3}{4} & -1\end{array}\right) X+\binom{1}{-1} e^{\frac{t}{2}}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
X' = A\,X + b\,e^{t/2},
onde
A = \begin{pmatrix}3 & -5\\[6pt]\tfrac{3}{4}&-1\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix},
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros (ou variação de constantes). Para isso precisamos (i) achar a solução geral do sistema homogêneo X'=AX, (ii) montar a matriz fundamental \Phi(t), (iii) calcular \Phi^{-1}(t)\,b\,e^{t/2}, (iv) integrar para encontrar a parte particular e (v) escrever a solução geral.]
Passo 2
Primeiro resolvemos o homogêneo X'=AX. As autovalores vêm da equação característica