Lista de exercícios 7
Conservação do Momento Linear e Colisões
Duas bolas de boliche têm a mesma velocidade. Uma delas desliza pela pista, enquanto a outra rola pela pista. Que bola tem mais energia? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre duas bolas de boliche que têm a mesma velocidade. Uma desliza pela pista, ou seja, apenas se move para frente sem girar. A outra rola, o que significa que ela está se movendo para frente e girando ao mesmo tempo. Nosso objetivo é descobrir qual das duas bolas tem mais energia e por quê. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética tanto em movimento de translação (quando a bola desliza) quanto em movimento de rotação (quando a bola rola).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética é a energia que um objeto tem devido ao seu movimento. Quando uma bola desliza sem girar, toda a sua energia cinética está ligada ao movimento para frente. A fórmula para calcular essa energia é:
Etrans = 12 m v^2
Aqui, $ E_{trans} $ é a energia cinética de translação, $ m $ é a massa da bola e $ v $ é a velocidade dela.

Passo 3

Agora, vamos considerar a bola que está rolando. Além de se mover para frente, ela também está girando. Isso significa que a energia cinética total dessa bola vem de duas partes: a energia de translação (como a bola deslizando) e a energia de rotação. A fórmula para a energia cinética total quando há rotação é:
Etotal = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Aqui, $ I $ é o momento de inércia da bola e $ \omega $ é a velocidade angular (como ela está girando).

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais. O momento de inércia ($ I $) depende de como a massa está distribuída na bola. Para uma bola de boliche, que podemos aproximar como uma esfera sólida, o momento de inércia é:
I
Onde $ r $ é o raio da bola. Além disso, se a bola está rolando sem deslizar, a velocidade angular ($ \omega I = 25 m r^2 áà v $) pela relação:
r
Substituindo $ \omega $ na fórmula da energia total, temos:
omega

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Etotal = 12 m v^2 + 12 ( 25 m r^2 ) ( v^2r^2 )
Etotal = 12 m v^2 + 12 cdot 25 m v^2
Etotal = 12 m v^2 + 15 m v^2
Etotal = ( 12 + 15 ) m v^2
Etotal = 710 m v^2
Então, a energia total da bola que está rolando é $ \frac{7}{10} m v^2 $.

Resposta

A bola que está rolando pela pista tem mais energia, pois além da energia de movimento para frente, ela também possui energia de rotação, totalizando uma energia cinética maior que a da bola que apenas desliza.

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