Lista de Exercícios de Estabilidade: (3,5 Ptos.)
N0 : é o número de ordem na lista de chamada.
Determine todos os pontos críticos dos seguintes SEDA Planos:
lllx^prime & =x^2-y^2-N0 y^prime & =x^2-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar todos os pontos críticos do sistema de equações diferenciais autônomas (SEDA) dado por:
l x' = x^2 - y^2 - N0 y' = x^2 - y
Conteúdo envolvido: Aqui estamos trabalhando com sistemas dinâmicos e buscando os pontos críticos, que são aqueles onde as taxas de variação x' e y' são iguais a zero. Esses pontos são importantes porque representam estados estacionários do sistema.
O que precisamos: Para encontrar os pontos críticos, vamos resolver o sistema de equações onde x' = 0 e y' = 0, ou seja, resolver:
x^2 - y^2 - N0 = 0 x^2 - y = 0

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para y:
x^2 - y = 0 implies y = x^2
Agora que expressamos y em função de x, podemos substituir essa expressão na primeira equação para encontrar os valores de x:
x^2 - (x^2)^2 - N0 = 0 implies x^2 - x^4 - N0 = 0

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
-x^4 + x^2 - N0 = 0 implies x^4 - x^2 + N0 = 0
Essa é uma equação polinomial de quarto grau em x. Resolver uma equação de quarto grau pode ser complicado, mas podemos analisar as soluções possíveis dependendo do valor de N0.

Passo 4

As soluções para x dessa equação dependem das raízes reais de:
x^4 - x^2 + N0 = 0
Para encontrar os pontos críticos, precisamos encontrar os valores de x que satisfazem essa equação e, em seguida, usar y = x^2 para encontrar os correspondentes valores de y.

Resposta

Os pontos críticos do sistema são os pares (x, y) onde y = x^2 e x satisfaz a equação x^4 - x^2 + N0 = 0. Ou seja, os pontos críticos são:
( x, x^2 ) onde x^4 - x^2 + N0 = 0

Exercícios relacionados