Lista de Exercícios de Estabilidade: (3,5 Ptos.)
: é o número de ordem na lista de chamada.
Determine todos os pontos críticos dos seguintes SEDA Planos:
Determine todos os pontos críticos dos seguintes SEDA Planos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar todos os pontos críticos do sistema de equações diferenciais autônomas (SEDA) dado por:
Conteúdo envolvido: Aqui estamos trabalhando com sistemas dinâmicos e buscando os pontos críticos, que são aqueles onde as taxas de variação
e
são iguais a zero. Esses pontos são importantes porque representam estados estacionários do sistema.
O que precisamos: Para encontrar os pontos críticos, vamos resolver o sistema de equações onde
e
, ou seja, resolver:
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para
:
Agora que expressamos
em função de
, podemos substituir essa expressão na primeira equação para encontrar os valores de
:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação polinomial de quarto grau em
. Resolver uma equação de quarto grau pode ser complicado, mas podemos analisar as soluções possíveis dependendo do valor de
.
Passo 4
As soluções para
dessa equação dependem das raízes reais de:
Para encontrar os pontos críticos, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa equação e, em seguida, usar
para encontrar os correspondentes valores de
.
Resposta
Os pontos críticos do sistema são os pares
onde
e
satisfaz a equação
. Ou seja, os pontos críticos são: