Lista de Exercícios 1
Exercício 3 Seja
e
. Considere
, com
,
, definamos as operações:
Nestas condições
é um espaço vetorial sobre
? Por quê?
Exercício 3 Seja
Passo 1
O enunciado define em
a “adição”
e o “produto escalar”
e pergunta se isso faz de
um espaço vetorial sobre
. Para responder, basta verificar se as operações satisfazem os axiomas de espaço vetorial, em particular o axioma da existência de elemento neutro (vetor zero) e a comutatividade da adição.
Passo 2
Suponha que exista um vetor neutro
tal que para todo
se tenha
Pela definição de “adição” isso dá
Comparando coordenadas:
Essas duas condições só se satisfazem simultaneamente quando
e
, ou seja, apenas para o vetor
. Logo não existe um único
que seja neutro para todo
.
Passo 3
Além disso, mesmo sem procurar o zero, podemos ver que a adição não é comutativa: para
e
e em geral
. Falha aí o axioma
.
Resposta
Não, porque a “adição” não tem elemento neutro comum a todos os vetores nem é comutativa, violando os axiomas de espaço vetorial.