Lista de Exercícios 1
Exercício 3 Seja V=R^2 e F=R. Considere alpha in R, u, v in R^2, com u=(x1, y1), v=(x2, y2), definamos as operações:
u+v=(2 x1-2 y1,-x1+y1) e alpha cdot u=(3 alpha x1,-alpha y1)
Nestas condições V é um espaço vetorial sobre F ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a “adição”
u+v=(2x1-2y1,,-x1+y1)
e o “produto escalar”
alphacdot u=(3alpha x1,,-alpha y1)
e pergunta se isso faz de V um espaço vetorial sobre R. Para responder, basta verificar se as operações satisfazem os axiomas de espaço vetorial, em particular o axioma da existência de elemento neutro (vetor zero) e a comutatividade da adição.

Passo 2

Suponha que exista um vetor neutro e=(a,b) tal que para todo u=(x1,y1) se tenha
u+e ;=; u
Pela definição de “adição” isso dá
u+e = (2x1-2y1,,-x1+y1) ;overset!=;(x1,y1)
Comparando coordenadas:
2x1-2y1 = x1 Longrightarrow x1 = 2y1,
-x1+y1 = y1 Longrightarrow x1 = 0
Essas duas condições só se satisfazem simultaneamente quando x1=0 e y1=0, ou seja, apenas para o vetor u=(0,0). Logo não existe um único e que seja neutro para todo u.

Passo 3

Além disso, mesmo sem procurar o zero, podemos ver que a adição não é comutativa: para
u=(x1,y1) e v=(x2,y2)
u+v=(2x1-2y1,,-x1+y1), v+u=(2x2-2y2,,-x2+y2),
e em geral (2x1-2y1,,-x1+y1)neq(2x2-2y2,,-x2+y2). Falha aí o axioma u+v=v+u.

Resposta

Não, porque a “adição” não tem elemento neutro comum a todos os vetores nem é comutativa, violando os axiomas de espaço vetorial.

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