- LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(d)
;
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(d)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
Informações dadas:
- A variável de integração interna é
, com limites (inferior) e (superior). - A variável de integração externa é
, com limites e . - A integranda é
.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral iterada (avaliar a integral interna em
e depois a integral externa em
).
Passo 2
Estratégia: integrar primeiro em relação a
(pois a integranda é simples em
) tratando
como constante nessa integração, e depois integrar o resultado em
.
Lembrete de cálculo necessário (regra de potência):
- Para
, .
Aqui vamos usar com, logo
Ao integrar em
,
é constante e pode ser fatorado.
Passo 3
Calcule a integral interna:
Agora avaliar os extremos. Como
temos
, então
e
é apenas
. Assim
Passo 4
A integral iterada reduz-se a
Use a regra de potência para integrar em
:
-
. -
.
Portanto
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites
e
.
Para
:
Para
:
Calcule passo a passo:
Logo
Colocando em denominador comum
:
Agora subtrair:
Passo 6
Verificação rápida de plausibilidade: a integranda é positiva no domínio de integração, então o resultado deve ser positivo;
é positivo e pequeno, compatível com o intervalo de integração. Tudo consistente.