• LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
    ((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
    (d) \int_{1 / 4}^{1} \int_{x^{2}}^{x} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} d y d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla iterada
\int_{1/4}^{1}\int_{x^{2}}^{x}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é y, com limites y=x^{2} (inferior) e y=x (superior).
  • A variável de integração externa é x, com limites x=\tfrac{1}{4} e x=1.
  • A integranda é \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=x^{1/2}y^{-1/2}.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral iterada (avaliar a integral interna em y e depois a integral externa em x).

Passo 2

Estratégia: integrar primeiro em relação a y (pois a integranda é simples em y) tratando x como constante nessa integração, e depois integrar o resultado em x.
Lembrete de cálculo necessário (regra de potência):
  • Para n\neq -1, \displaystyle\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
    Aqui vamos usar com n=-\tfrac{1}{2}, logo
\int y^{-1/2}\,dy= \frac{y^{1/2}}{1/2}=2y^{1/2}.
Ao integrar em y, x^{1/2} é constante e pode ser fatorado.

Passo 3

Calcule a integral interna:
\int_{x^{2}}^{x}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\,dy = x^{1/2}\int_{x^{2}}^{x} y^{-1/2}\,dy = x^{1/2}\big[2y^{1/2}\big]_{y=x^{2}}^{y=x}.
Agora avaliar os extremos. Como x\in[\tfrac{1}{4},1] temos x\ge 0, então (x^{2})^{1/2}=x e x^{1/2} é apenas \sqrt{x}. Assim
x^{1/2}\big(2x^{1/2}-2x\big)=2\big(x - x^{3/2}\big).

Passo 4

A integral iterada reduz-se a
\int_{1/4}^{1} 2\big(x - x^{3/2}\big)\,dx.
Use a regra de potência para integrar em x:
  • \displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}.
Portanto
\int 2\big(x - x^{3/2}\big)\,dx =2\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{5}x^{5/2}\right) = x^{2}-\frac{4}{5}x^{5/2}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites x=\tfrac{1}{4} e x=1.
Para x=1:
1^{2}-\frac{4}{5}\,1^{5/2}=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.
Para x=\tfrac{1}{4}:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\frac{4}{5}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{5/2}.
Calcule passo a passo:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}, \qquad \left(\tfrac{1}{4}\right)^{5/2}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{1/2}=\tfrac{1}{16}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{32}.
Logo
\frac{1}{16}-\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{32}=\frac{1}{16}-\frac{1}{40}.
Colocando em denominador comum 80:
\frac{1}{16}=\frac{5}{80},\qquad \frac{1}{40}=\frac{2}{80}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{16}-\frac{1}{40}=\frac{3}{80}.
Agora subtrair:
\frac{1}{5}-\frac{3}{80}=\frac{16}{80}-\frac{3}{80}=\frac{13}{80}.

Passo 6

Verificação rápida de plausibilidade: a integranda é positiva no domínio de integração, então o resultado deve ser positivo; \tfrac{13}{80}=0,1625 é positivo e pequeno, compatível com o intervalo de integração. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{13}{80}

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