• LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
    ((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
    (b) \int_{0}^{2} \int_{0}^{y} d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y} dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integral interna é em x com os limites x=0 até x=y.
  • A integral externa é em y com os limites y=0 até y=2.
  • Não há nenhuma função explícita dentro das integrais, portanto o integrando é 1 (ou seja, integra-se 1 em relação a x e depois a y).
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Entendendo a integral interna: para cada valor fixo de y (um parâmetro agora), calculamos
\int_{0}^{y} dx.
Regra básica: a primitiva de 1 em relação a x é x. Logo,
\int_{0}^{y} dx = x\Big|_{0}^{y} = y-0 = y.
Explicação curta: integrar 1 em x significa medir o comprimento do intervalo em x, que é y-0.

Passo 3

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, obtemos a integral única em y:
\int_{0}^{2} y\, dy.

Passo 4

Calcule a integral em y. A primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2}. Portanto,
\int_{0}^{2} y\, dy = \frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-0 = \frac{4}{2}=2.

Passo 5

Interpretação geométrica (útil para checar): a integral dupla de 1 sobre a região
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 2\}
é a área dessa região. Essa região é um triângulo com base 2 e altura 2, logo área \dfrac{2\cdot 2}{2}=2, que coincide com o resultado obtido.

Passo 6

Verificação alternativa trocando a ordem de integração (pra treinar): escrevendo a região como 0\le x\le 2 e y variando de y=x até y=2, a integral fica
\int_{0}^{2}\int_{x}^{2} dy\,dx.
A integral interna dá 2-x e então
\int_{0}^{2} (2-x)\,dx = \left(2x-\frac{x^{2}}{2}\right)\Big|_{0}^{2}=4-2=2,
confirmando o mesmo resultado.

Resposta

2

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