1. (4 pontos) Utilizando as regras de derivação e a tabela acima, calcule as derivadas das seguintes funções:
    (d) (1 ponto) y=x^cos x;

Passo 1

Então, a questão pede para a gente calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas de funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver, vamos precisar usar a regra do logaritmo para derivação de funções exponenciais e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a derivação aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso nos ajuda a lidar com a variável no expoente.
ln(y) = cos x cdot ln x

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a y'y = ddx(cos x) cdot ln x + cos x cdot ddx(ln x) . Lembre-se que a derivada de y'y = -sin x cdot ln x + cos x cdot 1x em relação a é (usando a regra da cadeia). No lado direito, usamos a regra do produto para derivar .
Sabendo que e , substituímos:

Passo 4

Agora, isolamos y' = y ( -sin x cdot ln x + cos xx ) multiplicando ambos os lados por y' = x^cos x ( -sin x cdot ln x + cos xx ) :
Lembre-se que , então substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função y' = x^cos x ( -sin x cdot ln x + cos xx ) é:

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