• LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
    ((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
    () \int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}} y^{3} e^{x y} d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{y^{2}} y^{3} e^{x y}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integral é iterada: primeiro integra-se em x com y fixo, depois integra-se em y.
  • Os limites internos são x de 0 a y^{2}.
  • Os limites externos são y de 0 a 1.
    O objetivo é executar as integrais na ordem dada e obter um valor numérico final.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em x. Aqui y é tratado como constante porque estamos integrando em relação a x.
Regra usada (fórmula e o que significam): se a é constante em relação a x, então
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
No nosso caso a = y^{3} e f(x)=e^{xy}. Uma forma direta de achar a primitiva de e^{xy} em x é usar substituição: faça u = x y. Então du = y\,dx, logo dx = \dfrac{du}{y}. Assim,
\int y^{3} e^{x y}\,dx = y^{3}\int e^{u}\frac{du}{y}=y^{2}\int e^{u}\,du = y^{2} e^{u}+C.
Voltando a x (pois u=xy),
\int y^{3} e^{x y}\,dx = y^{2} e^{x y}+C.
Observação sobre y=0: a etapa acima usou divisão por y dentro da substituição; porém o integrando é contínuo e quando y=0 temos y^{3}e^{xy}\equiv 0, e a primitiva obtida por continuidade coincide. Portanto a expressão é válida em todo o intervalo de integração por continuidade.

Passo 3

Avaliaremos a primitiva entre x=0 e x=y^{2}:
\left. y^{2} e^{x y}\right|_{x=0}^{x=y^{2}} = y^{2}\bigl(e^{y^{3}}-e^{0}\bigr)=y^{2}\bigl(e^{y^{3}}-1\bigr).
Assim a integral dupla reduz-se à integral simples em y:
\int_{0}^{1} y^{2}\bigl(e^{y^{3}}-1\bigr)\,dy.
Pela linearidade das integrais, separamos:
\int_{0}^{1} y^{2}e^{y^{3}}\,dy \;-\; \int_{0}^{1} y^{2}\,dy.

Passo 4

Calculemos a primeira parcela \int_{0}^{1} y^{2}e^{y^{3}}\,dy por substituição adequada. Tome
u = y^{3}\quad\Rightarrow\quad du = 3y^{2}\,dy\quad\Rightarrow\quad y^{2}\,dy=\frac{du}{3}.
Mudança de limites: quando y=0 então u=0; quando y=1 então u=1. Logo
\int_{0}^{1} y^{2}e^{y^{3}}\,dy = \int_{0}^{1} e^{u}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é e^{u}, então
\frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{3}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr)=\frac{1}{3}(e-1).

Passo 5

Calculemos a segunda parcela \int_{0}^{1} y^{2}\,dy. A primitiva de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Agora combinamos os resultados:
\int_{0}^{1} y^{2}e^{y^{3}}\,dy - \int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \frac{1}{3}(e-1) - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(e-2).

Resposta

\dfrac{e-2}{3}

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