LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
() \int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}} y^{3} e^{x y} d x d y;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
A integral é iterada: primeiro integra-se em x com y fixo, depois integra-se em y.
Os limites internos são x de 0 a y^{2}.
Os limites externos são y de 0 a 1.
O objetivo é executar as integrais na ordem dada e obter um valor numérico final.
Passo 2
Vamos integrar primeiro em x. Aqui y é tratado como constante porque estamos integrando em relação a x.
Regra usada (fórmula e o que significam): se a é constante em relação a x, então
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
No nosso caso a = y^{3} e f(x)=e^{xy}. Uma forma direta de achar a primitiva de e^{xy} em x é usar substituição: faça u = x y. Então du = y\,dx, logo dx = \dfrac{du}{y}. Assim,
Observação sobre y=0: a etapa acima usou divisão por y dentro da substituição; porém o integrando é contínuo e quando y=0 temos y^{3}e^{xy}\equiv 0, e a primitiva obtida por continuidade coincide. Portanto a expressão é válida em todo o intervalo de integração por continuidade.