• LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
    ((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
    (1) integral0^pi / 4 integralpi / 4^pi / 2 sec x cosec y d y d x ;(otimes integral0^1 integral0^1 cosh x sen y d x d y;

Passo 1

O enunciado pede pra calcular duas integrais duplas iteradas: a primeira é
I1=integral0^pi/4integralpi/4^pi/2sec x,csc y,dy,dx
e a segunda é
I2=integral0^1integral0^1cosh x,sin y,dx,dy.
O conteúdo é integrais duplas separáveis e vamos precisar das primitivas de sec x, csc y, cosh x e sin y.

Passo 2

Como sec x depende só de x e csc y só de y, podemos escrever
I1=l(integral0^pi/4sec x,dxr)timesl(integralpi/4^pi/2csc y,dyr)

Passo 3

Para a primeira parte, usamos a primitiva
integralsec x,dx=lnl|sec x+tan xr|+C.
Assim,
integral0^pi/4sec x,dx=lnl(sec(pi/4)+tan(pi/4)r)-lnl(sec0+tan0r)=ln(raiz2+1)-ln1=ln(raiz2+1)

Passo 4

Para a segunda parte, usamos
integralcsc y,dy=-lnl|csc y+cot yr|+C.
Logo,
integralpi/4^pi/2csc y,dy=-l[ln(csc y+cot y)r]pi/4^pi/2=-l(ln1-ln(raiz2+1)r)=ln(raiz2+1)

Passo 5

Multiplicando, concluímos
$$I_1=\bigl(\ln(\sqrt2+1)\bigr)\times\bigl(\ln(\sqrt2+1)\bigr)=\bigl(\ln(\sqrt2+1)\bigr)^2.
$$

Passo 6

Na segunda integral, como cosh x depende só de x e sin y só de y, separamos:
I2=l(integral0^1cosh x,dxr)timesl(integral0^1sin y,dyr)

Passo 7

Calculando a parte em x:
integralcosh x,dx=sinh x+ C,
então
integral0^1cosh x,dx=sinh(1)-sinh(0)=sinh1

Passo 8

E a parte em y:
integralsin y,dy=-cos y+ C,
então
integral0^1sin y,dy=l(-cos yr)|0^1=-cos1+cos0=1-cos1

Passo 9

Multiplicando, obtemos
I2=sinh1times(1-cos1)

Resposta

I1=l(ln(raiz2+1)r)^2 e I2=sinh1,(1-cos1).

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