Seja
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Desenhe as curvas de nível
para três valores de k;
Desenhe as curvas de nível
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar as curvas de nível da função $ f(x, y) = x^{2} - 2x + y^{2} + 1 $ para três valores diferentes de $ k $. Isso faz parte do estudo de curvas de nível em cálculo, que ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação $ f(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante. No nosso caso, temos:
Nosso objetivo é reescrever essa equação de uma forma que seja fácil de desenhar.
Passo 3
Vamos simplificar a equação completando o quadrado para a parte que envolve $ x $. Isso ajuda a identificar a forma geométrica da curva.
A expressão que envolve $ x $ é $ x^{2} - 2x $. Para completar o quadrado:
- Pegue o coeficiente de $ x $, que é -2.
- Divida por 2: $ -2 / 2 = -1 $.
- Eleve ao quadrado: $ (-1)^{2} = 1 $.
Agora, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, temos a equação na forma:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio $ \sqrt{k} $. Isso significa que para cada valor de $ k $, teremos um círculo diferente.
Passo 5
Vamos escolher três valores para $ k $. É importante que $ k $ seja positivo para que o raio seja um número real. Vamos escolher:
- $ k = 1 $
- $ k = 4 $
- $ k = 9 $
Passo 6
Agora, vamos desenhar cada um desses círculos:
-
Para $ k = 1 $:
- Centro:
- Raio: $ \sqrt{1} = 1 $
- Centro:
-
Para $ k = 4 $:
- Centro:
- Raio: $ \sqrt{4} = 2 $
- Centro:
-
Para $ k = 9 $:
- Centro:
- Raio: $ \sqrt{9} = 3 $
- Centro:
Passo 7
Com as informações acima, podemos desenhar os três círculos no mesmo plano cartesiano:
- Todos os círculos têm o mesmo centro em
. - Os raios aumentam conforme $ k $ aumenta.

Resposta
Desenhamos três círculos concentricos com centro em
e raios 1, 2 e 3 correspondentes aos valores de $ k = 1 $, $ k = 4 $ e $ k = 9 $.