Seja f(x, y)=x^2-2 x+y^2+1.
Desenhe as curvas de nível x^2-2 x+y^2+1=k para três valores de k;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar as curvas de nível da função $ f(x, y) = x^{2} - 2x + y^{2} + 1 $ para três valores diferentes de $ k $. Isso faz parte do estudo de curvas de nível em cálculo, que ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem a equação $ f(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante. No nosso caso, temos:
f(x, y) = k
Nosso objetivo é reescrever essa equação de uma forma que seja fácil de desenhar.

Passo 3

Vamos simplificar a equação completando o quadrado para a parte que envolve $ x $. Isso ajuda a identificar a forma geométrica da curva.
A expressão que envolve $ x $ é $ x^{2} - 2x $. Para completar o quadrado:
  1. Pegue o coeficiente de $ x $, que é -2.
  2. Divida por 2: $ -2 / 2 = -1 $.
  3. Eleve ao quadrado: $ (-1)^{2} = 1 $.
Agora, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
x
Isso simplifica para:
x

Passo 4

Agora, temos a equação na forma:
(x - 1)^2 + y^2 = k
Essa é a equação de um círculo com centro em (1, 0) e raio $ \sqrt{k} $. Isso significa que para cada valor de $ k $, teremos um círculo diferente.

Passo 5

Vamos escolher três valores para $ k $. É importante que $ k $ seja positivo para que o raio seja um número real. Vamos escolher:
  1. $ k = 1 $
  2. $ k = 4 $
  3. $ k = 9 $

Passo 6

Agora, vamos desenhar cada um desses círculos:
  1. Para $ k = 1 $:
    k = 1
    • Centro: (x - 1)^2 + y^2 = 1
    • Raio: $ \sqrt{1} = 1 $
  2. Para $ k = 4 $:
    (1, 0)
    • Centro: raiz1 = 1
    • Raio: $ \sqrt{4} = 2 $
  3. Para $ k = 9 $:
    k = 4
    • Centro: (x - 1)^2 + y^2 = 4
    • Raio: $ \sqrt{9} = 3 $

Passo 7

Com as informações acima, podemos desenhar os três círculos no mesmo plano cartesiano:
  • Todos os círculos têm o mesmo centro em (1, 0).
  • Os raios aumentam conforme $ k $ aumenta.
Curvas de Nível (Imagem ilustrativa dos círculos com diferentes raios)

Resposta

Desenhamos três círculos concentricos com centro em (1, 0) e raios 1, 2 e 3 correspondentes aos valores de $ k = 1 $, $ k = 4 $ e $ k = 9 $.

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