Lista de Exercícios - Potencial Elétrico
Uma linha de comprimento L possui uma carga linear uniforme lambda. Calcule o potencial elétrico em um ponto localizado a uma distância d do meio da linha.

Passo 1

O enunciado dá uma linha de comprimento L com densidade de carga linear lambda e pede o potencial elétrico num ponto P que está a uma distância d do meio da linha. O conteúdo aqui é usar a superposição de potenciais e calcular uma integral da forma
V = 14pivarepsilon0integral dqr

Passo 2

Escolhemos um eixo x ao longo da linha, de modo que as coordenadas variam de x=-tfracL2 a x=+tfracL2, e o ponto P fica em (0,d). Um pequeno elemento de carga é
dq = lambda,dx,
e a distância entre esse elemento e P é
r = raizx^2 + d^2

Passo 3

O potencial devido ao elemento dq é
dV = 14pivarepsilon0,dqr
e, somando tudo pela superposição,
V = 14pivarepsilon0integral-L/2^L/2lambda,dxraizx^2 + d^2 = lambda4pivarepsilon0integral-L/2^L/2dxraizx^2 + d^2

Passo 4

A integral
integral dxraizx^2 + d^2
é uma forma padrão que resulta em
integral dxraizx^2 + d^2 = lnl|x + raizx^2 + d^2r| + C

Passo 5

Aplicando os limites de -tfracL2 a +tfracL2, obtemos
V = lambda4pivarepsilon0 l[ lnl(tfracL2 + raiz(tfracL2)^2 + d^2r) - lnl(-tfracL2 + raiz(tfracL2)^2 + d^2r) r]
Como raiz(tfracL2)^2 + d^2 - (-tfracL2) = tfracL2 + raiz(tfracL2)^2 + d^2, isso simplifica para
V = lambda4pivarepsilon0 ln!gl( tfracL2 + raizl(tfracL2r)^2 + d^2 -tfracL2 + raizl(tfracL2r)^2 + d^2 gr)

Passo 6

Uma forma equivalente e mais compacta usa a função inversa do seno hiperbólico, pois
arsinh(u) = ln!l(u + raizu^2 + 1r)
Definindo u = tfracL2d, percebe-se que o resultado fica
V = lambda2pivarepsilon0, arsinh!l(L2dr)

Resposta

V = lambda4pivarepsilon0, ln!gl( tfracL2 + raizl(tfracL2r)^2 + d^2 -tfracL2 + raizl(tfracL2r)^2 + d^2 gr) ou V = lambda2pivarepsilon0, arsinh!l(L2dr)

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