2^ a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
4- Considere a equação diferencial x+(x^2 y+4 y) d yd x=0
a) Encontre uma fator de integração mu(y) para a equação, de forma a transformá-la numa equação exata.

Passo 1

O enunciado pede para achar um fator de integração μ(y) que torne exata a equação diferencial x + (x²y + 4y) dy/dx = 0. O conteúdo é equações exatas e fator de integração, e vamos precisar reescrever na forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 e aplicar a condição para μ(y).

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial temos M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 com
M(x,y)=x,
N(x,y)=x^2y+4y
Uma equação exata satisfaz ∂M/∂y = ∂N/∂x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
∂M∂y=0,
∂N∂x=2xy
Como 0 ≠ 2xy, a equação não é exata sem fator de integração.

Passo 4

Para obter μ(y), usamos a condição de exatidão para μ dependente só de y, que exige que
Nx - MyM
seja função apenas de y. Nesse caso
Nx - MyM = 2xy - 0x = 2y
Como é função só de y, podemos achar μ(y) via
μ(y) = expgl(integral 2y,dygr)

Passo 5

Integramos e obtemos
μ(y) = exp(y^2)
Esse é o fator de integração buscado que depende apenas de y.

Resposta

μ(y) = e{y2}

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