Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
4- Considere a equação diferencial
a) Encontre uma fator de integração
para a equação, de forma a transformá-la numa equação exata.
4- Considere a equação diferencial
a) Encontre uma fator de integração
Passo 1
O enunciado pede para achar um fator de integração μ(y) que torne exata a equação diferencial x + (x²y + 4y) dy/dx = 0. O conteúdo é equações exatas e fator de integração, e vamos precisar reescrever na forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 e aplicar a condição para μ(y).
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial temos M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 com
Uma equação exata satisfaz ∂M/∂y = ∂N/∂x.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como 0 ≠ 2xy, a equação não é exata sem fator de integração.
Passo 4
Para obter μ(y), usamos a condição de exatidão para μ dependente só de y, que exige que
seja função apenas de y. Nesse caso
Como é função só de y, podemos achar μ(y) via
Passo 5
Integramos e obtemos
Esse é o fator de integração buscado que depende apenas de y.
Resposta
μ(y) = e{y2}