Use a regra da cadeia para achar partial zpartial t ou partial wpartial t :
w=xz+yz, x=cos ^2 t, y=sen^2 t, z=1t

Passo 1

O enunciado pede para a gente usar a regra da cadeia e achar dw/dt, sabendo que w=x/z+y/z, com x=cos^2t, y=sin^2t e z=1/t. Esse é um problema de derivada composta onde w depende de x,y,z, que por sua vez dependem de t.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de w em relação a x,y,z:
partial wpartial x=1z, partial wpartial y=1z, partial wpartial z=-x+yz^2

Passo 3

Em seguida, derivamos x,y,z em relação a t:
dxdt=-2cos tsin t=-sin2t, dydt=2sin tcos t=sin2t, dzdt=-1t^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
dwdt=partial wpartial xdxdt+partial wpartial ydydt+partial wpartial zdzdt

Passo 5

Para simplificar, note que x+y=cos^2t+sin^2t=1 e 1/z=t. Substituindo tudo,
dwdt=1z(-sin2t)+1z(sin2t)-1z^2l(-1t^2r) =tl(-sin2t+sin2tr)+1z^2cdot1t^2=0+t^2t^2=1

Passo 6

Pronto! A derivada fica bem simples depois de reconhecer que x+y=1.

Resposta

dwdt=1

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