2^ a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
4- Considere a equação diferencial x+(x^2 y+4 y) d yd x=0
b) Verifique que a função mu(y) encontrada é realmente uma fator integrante para a equação dada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função mu(y) obtida no item (a) é de fato um fator integrante para a equação diferencial x + (x^2y + 4y),dydx = 0. O conteúdo envolvido é Equações Diferenciais Exatas e vamos precisar usar a condição de exatidão com fator integrante dependente só de y:
A equação pode ser escrita como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
com M(x,y)=x e N(x,y)=x^2y + 4y.

Passo 2

Calculamos partialpartial y[mu(y),M(x,y)]. Como mu(y)=e^y^2, temos:
partialpartial yl(x,e^y^2r) = x cdot e^y^2 cdot 2y = 2xy,e^y^2

Passo 3

Em seguida calculamos partialpartial x[mu(y),N(x,y)]:
partialpartial xl(e^y^2(x^2y + 4y)r) = e^y^2 cdot partialpartial x(x^2y + 4y) = e^y^2 cdot 2xy = 2xy,e^y^2

Passo 4

Como se obtém
mu(y)=e^y^2
concluímos que a condição de exatidão é satisfeita com .

Resposta

De fato, como partial(mu M)/partial y = partial(mu N)/partial x = 2xy,e^y^2, a função mu(y)=e^y^2 é um fator integrante para a equação dada.

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