2^ a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
5 - Considere a equação diferencial 2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) y^prime=0.
a) Mostre que a equação dada não é exata.

Passo 1

O exercício pede pra mostrar que a equação diferencial
2y^2 + 2yx + l(2xy + 2 + tfracyxr) y' = 0
não é exata. Essa é uma equação de primeira ordem no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e, pra ela ser exata, precisa valer
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 2

Reescrevendo na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, identificamos
M(x,y) = 2y^2 + 2yx, N(x,y) = 2xy + 2 + yx

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial yl(2y^2 + 2yxr) = 4y + 2x

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial xl(2xy + 2 + yxr) = 2y - yx^2

Passo 5

Como
4y + 2x neq 2y - yx^2,
concluímos que partial M/partial y neq partial N/partial x, ou seja, a equação não é exata.

Resposta

Como partial M/partial y = 4y + tfrac2x neq 2y - tfracyx^2 = partial N/partial x, a equação não é exata.

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