Seja X=X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}. Prove que:
a) E(X)=n \cdot p

Passo 1

O enunciado define X = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n}
onde cada X_{i} é uma variável de Bernoulli com \Pr(X_{i}=1)=p e \Pr(X_{i}=0)=1-p.
O objetivo é mostrar que \mathrm{E}(X)=n\,p.
Vamos usar a linearidade da esperança e o valor de esperança de uma Bernoulli.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade da esperança, válida mesmo sem independência, temos
\mathrm{E}\biggl(\sum_{i=1}^n X_{i}\biggr) =\sum_{i=1}^n \mathrm{E}(X_{i}).

Passo 3

Cada X_{i} sendo Bernoulli (p) satisfaz
\mathrm{E}(X_{i}) =1\cdot p \;+\;0\cdot(1-p) =p.

Passo 4

Substituindo em \sum_{i=1}^n \mathrm{E}(X_{i}), obtemos
\mathrm{E}(X) =\sum_{i=1}^n p =n\,p.

Resposta

\mathrm{E}(X)=n\,p

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