Lista 4-Oscilações
Considere um oscilador amortecido e forçado descrito pela equação
Sendo a solução particular do tipo
mostre que as duas constantes são dadas por
Considere um oscilador amortecido e forçado descrito pela equação
Passo 1
Beleza, a questão é de oscilador amortecido e forçado, ou seja, a equação é
A proposta é achar a solução particular desse tipo senoidal:
e mostrar que
Conteúdo: método dos coeficientes indeterminados (ou “phasor trigonométrico”) em oscilação forçada. Vamos precisar calcular derivadas, substituir na equação e comparar termos em
e
.
Passo 2
Primeiro, calcula as derivadas de
:
\dot x_p(t) = B,\omega_F\cos(\omega_F t+\beta)
][
\ddot x_p(t) = -B,\omega_F^2\sin(\omega_F t+\beta).
]
]
Isso vem da regra de derivação de sen e cos, lembrando que
e
.
Passo 3
Agora, substitui tudo na equação:
LHS = .
Substituindo:
LHS =
Substituindo:
2\gamma\dot x_p = 2\gamma,B\omega_F\cos(\omega_F t+\beta),
][
\omega_0^2 x_p = B\omega_0^2\sin(\omega_F t+\beta).
]
]
Somando:
Como
, chamemos
. Então LHS vira
Passo 4
A RHS da equação é
. Para igualar LHS e RHS, expresse
e
em
e
:
\cos(\omega_F t+\beta)=\cos\omega_F t\cos\beta-\sin\omega_F t\sin\beta.
]
]
Substituindo e coletando termos em
e
, obtemos:
Coeficiente de :
Coeficiente de
Coeficiente de
:
Passo 5
Da equação do coeficiente de
(que é zero), isolamos
:
Passo 6
Agora use a equação do coeficiente de
. Em vez de resolver direto, note que podemos tirar
e usar
Mas sabemos que
e
satisfazem
e a relação do passo anterior. O jeito mais simples é notar que o módulo do fator junto de
é
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