Lista 4-Oscilações
Considere um oscilador amortecido e forçado descrito pela equação
ddotx+2 gamma dotx+omega0^2 x=F0m sen(omegaF t)
Sendo a solução particular do tipo
xp(t)=B sen(omegaF t+beta)
mostre que as duas constantes são dadas por
B=F0 / mraiz(omegaF^2-omega0^2)^2+4 gamma^2 omegaF^2, tg beta=2 gamma omegaFomegaF^2-omega0^2

Passo 1

Beleza, a questão é de oscilador amortecido e forçado, ou seja, a equação é
ddotx + 2gamma dotx + omega0^2 x ;=; F0m,sin(omegaF t)
A proposta é achar a solução particular desse tipo senoidal:
xp(t) = B,sinl(omegaF t + betar)
e mostrar que
B = F0/mraiz(omegaF^2 - omega0^2)^2 + (2gammaomegaF)^2 , tanbeta = 2gamma,omegaFomegaF^2 - omega0^2
Conteúdo: método dos coeficientes indeterminados (ou “phasor trigonométrico”) em oscilação forçada. Vamos precisar calcular derivadas, substituir na equação e comparar termos em e .

Passo 2

Primeiro, calcula as derivadas de xp(t) = Bsin(omegaF t+beta) :
dot xp(t) = B,omegaFcos(omegaF t+beta) [
\dot x_p(t) = B,\omega_F\cos(\omega_F t+\beta)
][
\ddot x_p(t) = -B,\omega_F^2\sin(\omega_F t+\beta).
]
Isso vem da regra de derivação de sen e cos, lembrando que ddot xp(t) = -B,omegaF^2sin(omegaF t+beta) e .

Passo 3

Agora, substitui tudo na equação:
LHS = ddot xp = -BomegaF^2sin(omegaF t+beta), .
Substituindo:
2gammadot xp = 2gamma,BomegaFcos(omegaF t+beta), [
2\gamma\dot x_p = 2\gamma,B\omega_F\cos(\omega_F t+\beta),
][
\omega_0^2 x_p = B\omega_0^2\sin(\omega_F t+\beta).
]
Somando:
omega0^2 xp = Bomega0^2sin(omegaF t+beta)
Como l(-BomegaF^2 + Bomega0^2r)sin(omegaF t+beta) ;+; 2gamma,BomegaFcos(omegaF t+beta) , chamemos - BDe. Então LHS vira

Passo 4

A RHS da equação é sin(omegaF t+beta)=sinomegaF tcosbeta+cosomegaF tsinbeta, . Para igualar LHS e RHS, expresse cos(omegaF t+beta)=cosomegaF tcosbeta-sinomegaF tsinbeta e - BDe em - BDe e :
[
\cos(\omega_F t+\beta)=\cos\omega_F t\cos\beta-\sin\omega_F t\sin\beta.
]
Substituindo e coletando termos em e , obtemos:
Coeficiente de :
Coeficiente de :

Passo 5

Da equação do coeficiente de - BDe (que é zero), isolamos :

Passo 6

Agora use a equação do coeficiente de l(-De. Em vez de resolver direto, note que podemos tirar raizDe e usar
B = F0/mraizDe
Mas sabemos que e satisfazem
e a relação do passo anterior. O jeito mais simples é notar que o módulo do fator junto de é
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Resposta

B = F0/m raiz(omegaF^2-omega0^2)^2 + (2gamma,omegaF)^2 , tanbeta = 2gamma,omegaFomegaF^2-omega0^2

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