Lista 4-Oscilações
Ligam-se duas molas, com constantes elásticas distintas,
e
, em série, e na extremidade de uma delas prende-se um bloco de massa
. Supondo o sistema sem atrito, calcule, explicando: (i) a constante elástica equivalente dessa associação em série e a frequência de oscilação do sistema. (ii) Qual elemento de um circuito elétrico possui um equivalente calculado dessa mesma maneira? Discuta a analogia.
Ligam-se duas molas, com constantes elásticas distintas,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema de duas molas ligadas em série com constantes elásticas diferentes, $ k_1 $ e $ k_2 $, e uma massa $ m $ presa na extremidade de uma delas. O objetivo é calcular:
(i) a constante elástica equivalente desse conjunto de molas em série e a frequência de oscilação do sistema.
(ii) Identificar qual elemento de um circuito elétrico possui um equivalente calculado de forma semelhante e discutir essa analogia.
Vamos precisar entender como molas em série funcionam e como isso se relaciona com circuitos elétricos, além de aplicar fórmulas de oscilação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a constante elástica equivalente ($ k_{eq} $) das duas molas ligadas em série. Quando molas estão em série, a força que cada uma exerce é a mesma, mas a deformação total é a soma das deformações individuais.
A fórmula da constante elástica equivalente para molas em série é:
Isso significa que a constante elástica total do sistema é menor do que a menor das constantes individuais, porque as molas “compartilham” a carga.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar $ k_{eq} $:
Isso nos dá a constante elástica equivalente das duas molas em série.
Passo 4
Agora, vamos calcular a frequência de oscilação do sistema. Para um sistema massa-mola sem atrito, a frequência angular ($ \omega $) é dada por:
E a frequência ($ f $) em Hertz é:
Então, substituindo $ k_{eq} $ que encontramos anteriormente, teremos a frequência de oscilação do sistema.
Passo 5
Passando para a parte (ii), queremos identificar um elemento de circuito elétrico que tenha um cálculo de equivalente semelhante ao das molas em série. Nesse caso, os capacitores em um circuito apresentam uma relação análoga.
Para capacitores em série, a capacitância equivalente ($ C_{eq} $) é dada por:
Isso é parecido com a fórmula das molas em série. A analogia aqui é que as molas correspondem aos capacitores, a constante elástica às capacitâncias, e a força à tensão elétrica.
Resposta
(i) A constante elástica equivalente das duas molas em série é dada por:
A frequência de oscilação do sistema é:
(ii) No circuito elétrico, os capacitores em série têm um cálculo equivalente semelhante ao das molas em série. A capacitância equivalente é dada por:
A analogia estabelece uma correspondência entre a constante elástica das molas e a capacitância dos capacitores, mostrando como comportamentos mecânicos e elétricos podem ser semelhantes em suas respectivas formulações.