Lista 4-Oscilações
Considere um oscilador amortecido e forçado descrito pela equação
Escreva a solução geral para esse oscilador, na forma
; qual é o papel dos termos homogôneo e particular? Explique.
Considere um oscilador amortecido e forçado descrito pela equação
Passo 1
Beleza, temos um oscilador amortecido e forçado, descrito por
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com amortecimento e forçamento senoidal. Para resolver, a gente vai quebrar a solução em duas partes:
- a solução homogênea
, que vem da parte sem o forçamento ( ), e - a solução particular
, que “acompanha” o forçamento senoidal.
Pra isso, vamos usar:
- a equação característica para a parte homogênea;
- o método dos coeficientes indeterminados para achar a parte particular.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea:
A gente supõe
e monta a equação característica:
Aí encontramos
Dependendo de
(amortecimento leve ou forte), as raízes podem ser complexas ou reais. No caso usual de amortecimento leve (
), escrevemos
Logo a solução homogênea é
com
e
fixados pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora a parte particular
. Como o forçamento é , a gente “chuta” uma solução senoidal do tipo
A ideia é: quando a gente derivar e colocar na equação, vai dar um sistema para
e
. Fazendo
e substituindo em
,
agrupamos termos em e para achar:
,
agrupamos termos em
Resolvendo esse sistema, a forma mais intuitiva é usar amplitude e fase:
onde
Passo 4
Pronto, juntando as duas partes, a solução geral é
O papel de cada termo é:
-
: solução homogênea, decai no tempo (é o transiente que depende das condições iniciais e some conforme ); -
: solução particular, é a oscilação forçada em regime estacionário, com amplitude e defasagem em relação à força aplicada.
Resposta
com
e