Lista 4-Oscilações
Considere um oscilador amortecido e forçado descrito pela equação
ddotx+2 gamma dotx+omega0^2 x=F0m sen(omegaF t)
Escreva a solução geral para esse oscilador, na forma x=xh+xp; qual é o papel dos termos homogôneo e particular? Explique.

Passo 1

Beleza, temos um oscilador amortecido e forçado, descrito por
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com amortecimento e forçamento senoidal. Para resolver, a gente vai quebrar a solução em duas partes:
  • a solução homogênea ddotx + 2gamma dotx + omega0^2,x = F0m,sen(omegaF t) , que vem da parte sem o forçamento ( ), e
  • a solução particular , que “acompanha” o forçamento senoidal.
Pra isso, vamos usar:
  1. a equação característica para a parte homogênea;
  2. o método dos coeficientes indeterminados para achar a parte particular.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea:
ddotxh + 2gamma dotxh + omega0^2,xh = 0
A gente supõe r^2 + 2gamma r + omega0^2 = 0 e monta a equação característica:
r = -gamma pm raizgamma^2 - omega0^2
Aí encontramos
r = -gamma pm iOmega, com Omega = raizomega0^2 - gamma^2
Dependendo de xh(t) = e^-gamma tl(Acos(Omega t) + Bsen(Omega t)r), (amortecimento leve ou forte), as raízes podem ser complexas ou reais. No caso usual de amortecimento leve ( ), escrevemos
Logo a solução homogênea é
com e fixados pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora a parte particular xp(t) = Ccos(omegaF t) + Dsen(omegaF t) . Como o forçamento é , a gente “chuta” uma solução senoidal do tipo
A ideia é: quando a gente derivar e colocar na equação, vai dar um sistema para dotxp = -C,omegaFsen(omegaF t) + D,omegaFcos(omegaF t), e ddotxp = -C,omegaF^2cos(omegaF t) - D,omegaF^2sen(omegaF t), . Fazendo
e substituindo em
,
agrupamos termos em (-C,omegaF^2 + 2gamma D,omegaF + omega0^2 C) = 0, (-D,omegaF^2 - 2gamma C,omegaF + omega0^2 D) = F0m e para achar:
xp(t) = X,sen(omegaF t + varphi),
Resolvendo esse sistema, a forma mais intuitiva é usar amplitude e fase:
onde
X = F0/mraiz(omega0^2 - omegaF^2)^2 + (2gammaomegaF)^2, tanvarphi = 2gamma,omegaFomega0^2 - omegaF^2

Passo 4

Pronto, juntando as duas partes, a solução geral é
O papel de cada termo é:
  • boxedx(t) = xh(t) + xp(t) = e^-gamma tl(Acos(Omega t)+Bsen(Omega t)r) + X,sen(omegaF t + varphi) : solução homogênea, decai no tempo (é o transiente que depende das condições iniciais e some conforme );
  • : solução particular, é a oscilação forçada em regime estacionário, com amplitude e defasagem em relação à força aplicada.

Resposta

com x(t) = e^-gamma tl(Acos(Omega t)+Bsen(Omega t)r) ;+;F0/mraiz(omega0^2-omegaF^2)^2+(2gammaomegaF)^2, sen!l(omegaF t + varphir), e

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