Três estrelas de mesma massa M, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D (ocupando os vértices de um triângulo equilátero de lado D ) e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Calcule a velocidade linear e a energia mecânica total do sistema em função de M,D,G.

Passo 1

Beleza, temos três estrelas, cada uma com massa , nos vértices de um triângulo equilátero de lado . Elas só “sentem” a gravidade uma da outra e giram em torno do centro de massa (CM) do sistema. A matéria envolvida aqui é Mecânica Clássica: Lei da Gravitação de Newton, força centrípeta e energia (cinética e potencial). Para resolver, vamos usar
  1. Fórmulas de energia cinética e potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a distância R ;=;23,raiz32,D ;=;raiz33,D de cada estrela até o CM do triângulo equilátero.
Num triângulo equilátero, o baricentro (CM) fica a da altura medida a partir de um vértice. A altura vale , então

Passo 3

Agora, olhe a força gravitacional que uma estrela sente pelas outras duas. Cada par dá uma força
F ;=;G,M^2D^2
Essas duas forças formam um ângulo de Frm res ;=;2,Fcos(30^circ) ;=;2;G,M^2D^2;raiz32 ;=;raiz3,G,M^2D^2 entre si. A resultante tem módulo

Passo 4

Para que cada estrela faça movimento circular uniforme ao redor do CM, essa força resultante tem que ser a força centrípeta:
Frm res ;=;Frm cent Longrightarrow raiz3,G,M^2D^2 ;=;M,v^2R

Passo 5

Substituindo raiz3,G,M^2D^2 ;=; M,v^2(raiz3/3)D ;Longrightarrow; v^2 ;=; raiz3,G,M^2D^2;(raiz3/3)DM ;=; 3,G,M,D3,D^2 ;=; G,MD na equação acima:
boxedv = raizG,MD,
Logo,

Passo 6

Beleza, agora a energia cinética total do sistema é a soma da energia de cada estrela:
T = 3;12M,v^2 = 32,M;G,MD = 32,G,M^2D

Passo 7

Para a energia potencial gravitacional total, somamos os três pares: cada par dá U = 3;l(-G,M^2Dr) = -,3,G,M^2D , então

Passo 8

Finalmente, a energia mecânica total é
E = T + U = 32,G,M^2D ;-;3,G,M^2D = -,32,G,M^2D

Resposta

v =

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