Três estrelas de mesma massa M, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D (ocupando os vértices de um triângulo equilátero de lado D ) e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Calcule a velocidade linear e a energia mecânica total do sistema em função de M,D,G.
Calcule a velocidade linear e a energia mecânica total do sistema em função de M,D,G.
Passo 1
Beleza, temos três estrelas, cada uma com massa
, nos vértices de um triângulo equilátero de lado
. Elas só “sentem” a gravidade uma da outra e giram em torno do centro de massa (CM) do sistema. A matéria envolvida aqui é Mecânica Clássica: Lei da Gravitação de Newton, força centrípeta e energia (cinética e potencial). Para resolver, vamos usar
-
-
- Fórmulas de energia cinética e potencial gravitacional.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a distância
de cada estrela até o CM do triângulo equilátero.
Num triângulo equilátero, o baricentro (CM) fica a da altura medida a partir de um vértice. A altura vale
, então
Num triângulo equilátero, o baricentro (CM) fica a
Passo 3
Agora, olhe a força gravitacional que uma estrela sente pelas outras duas. Cada par dá uma força
Essas duas forças formam um ângulo de
entre si. A resultante
tem módulo
Passo 4
Para que cada estrela faça movimento circular uniforme ao redor do CM, essa força resultante tem que ser a força centrípeta:
Passo 5
Substituindo
na equação acima:
Logo,
Passo 6
Beleza, agora a energia cinética total do sistema é a soma da energia de cada estrela:
Passo 7
Para a energia potencial gravitacional total, somamos os três pares: cada par dá
, então
Passo 8
Finalmente, a energia mecânica total é
Resposta
v =