Lista 4-Oscilações
Para um oscilador harmônico amortecido e forçado mostre que: o fator de qualidade é dado por Q=12(omegaomega0+omega0omega) omega0gamma. O que acontece na ressonância? [Ref. 1]

Passo 1

Então, a questão é sobre um oscilador harmônico com amortecimento e força externa (ou seja, aquela equação
Q ;=; 2pi,energia armazenadaenergia perdida por ciclo, ).
O objetivo é mostrar que o “fator de qualidade” do sistema, definido como
Q ;=;12l(omegaomega0+omega0omegar),omega0gamma
fica
Também querem saber o que rola na ressonância.
Para resolver, vamos precisar de:
  • A definição de energia máxima guardada no oscilador,
  • A energia perdida por ciclo devido ao amortecimento,
  • A fórmula de , e
  • Um pouquinho de álgebra para finalmente isolar .

Passo 2

Teoria e fórmulas básicas:
  1. A energia máxima no oscilador (quando a velocidade ou o deslocamento atinge amplitude Erm max = tfrac12,m,A^2,omega^2 ;+;tfrac12,k,A^2 = tfrac12,m,A^2l(omega^2 + omega0^2r), ) é soma da energia cinética máxima e potencial máxima:
Prm diss = Frm atrito,dot x = (2mgamma),dot x^2 = 2mgamma;12,A^2omega^2 = mgamma,A^2,omega^2,
pois De.
  1. A potência média dissipada pelo amortecimento é
onde usamos .
  1. A energia perdida por ciclo (período ) é

Passo 3

Agora junta tudo na definição de Q ;=; 2pi,Erm maxDe:
omega^2 + omega0^22,gamma,omega =12;omega^2 + omega0^2omega,omega0;omega0gamma =12l(omegaomega0+omega0omegar)omega0gamma
Basta reorganizar esse resultado pra ficar no formato pedido:

Passo 4

O que acontece em ressonância? É só pôr Ql(omega=omega0r) =12l(1+1r)omega0gamma =omega0gamma na fórmula:
Na ressonância a amplitude do oscilador é máxima (e o deslocamento fica defasado de ) e o fator de qualidade cai à forma clássica .

Resposta

Q ;=;12l(omegaomega0+omega0omegar),omega0gamma
Em ressonância ( Q=omega0gamma, ), isso vira
e a amplitude do oscilador atinge seu valor máximo.

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