Lista 4-Oscilações
Para um oscilador harmônico amortecido e forçado mostre que: a taxa de variação da energia é dada por d Ed t=-m gamma dotx^2+P(t), onde P(t)=F(t) dotx(t) é a potência fornecida pela força externa;

Passo 1

O enunciado pede para um oscilador harmônico amortecido e forçado (ou seja, massa presa a uma mola, com força de atrito proporcional à velocidade e uma força externa dEdt ;=; -m,gamma,dot x^2 ;+; P(t), ) mostrarmos que
E = tfrac12 mdot x^2 + tfrac12 k x^2 e P(t) = F(t),dot x
onde
Conteúdo envolvido: energia cinética e potencial, equação de movimento do oscilador amortecido e forçado, derivação de energia.

Passo 2

Primeiro, escrever a equação de movimento do sistema:
m,ddot x + m,gamma,dot x + k,x = F(t)
E lembrar a definição da energia total E = T + V = tfrac12,m,dot x^2 ;+; tfrac12,k,x^2 :

Passo 3

Agora a gente diferencia dEdt = ddtl(tfrac12 mdot x^2r) + ddtl(tfrac12 k x^2r) no tempo:
dEdt = m,dot x,ddot x + k,x,dot x = dot x,(m,ddot x + k,x)
Isso dá

Passo 4

Usamos a equação de movimento para substituir m,ddot x + k,x = F(t) - m,gamma,dot x . Da EDO:
dEdt = dot x,l[F(t) - m,gamma,dot xr] = F(t),dot x ;-; m,gamma,dot x^2
Logo
E reconhecemos que é a potência fornecida pela força externa.

Resposta

boxeddEdt = -,m,gamma,dot x^2 ;+; P(t), com P(t)=F(t),dot x

Exercícios relacionados